第2节-收敛数列的性质.ppt

§1.2收敛数列的性质定理2.1(唯一性)若数列收敛,则其极限唯一.证由定义,一、收敛数列的基本性质故极限唯一.教材P7反证法相应的,可以给出有下界的定义定义2.1(数列有界的定义)若存在一个实数M，对数列所有的项都满足,例如,有界无界一个数列即有上界又有下界,则称为有界数列.定理2.2收敛的数列必定有界.证由定义,注：有界未必一定收敛。（有界性是收敛的必要条件）推论无界数列必定发散.定理2.3见教材P8图形证明注定理2.4二、极限的四则运算证说明1有+无=无，无+无=不定；2数学分析巩固与指导例1:解例2解三、夹逼定理证定理2.5上两式同时成立,例3-1解由夹逼定理得证例4例5.则证明：由夹逼定理，由不等式定义2.2数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列的子数列，简称子列.(教材P12)四、子列极限取则当，证设是数列的任一子列，由故对于任意给定的正数存在着正整数当时，成立。一子数列也收敛于.定理2.6如果数列收敛于，那么它的任若数列的一个子列发散或有两个子列收敛于不同的极限,一定发散.(教材P12)数列收敛于的奇数项子列和偶数项子列都收敛于a。对于单调数列,有一收敛子列则原数列收敛.对于单调数列,数列收敛的充分必要条件是有一收敛子列.(证明在单调有界定理)或结论1结论2五、无穷小定义2.3定理2.7分析：则所证结论转化为注意教材中的证明过程，学生看不懂