高二数学极大值与极小值.ppt

一、填空题（每题4分，共24分）1.函数f(x)=-x3+x2+2x取极小值时，x的值是____.【解析】f′(x)=-x2+x+2=-(x-2)(x+1)在(-∞,-1)和(2,+∞)上f′(x)＜0,在(-1,2)上f′(x)＞0,当x=-1时f(x)取最小值.答案：-1

2.(2010·琼海高二检测)函数的极大值为____，极小值为____.【解析】令y=f(x)则f′(x)=令f′(x)=0,得x=1或x=-1.当x变化时,f′(x)、f(x)的变化如下表：

由上表知y极小值=f(-1)=y极大值=f(1)=答案：

3.(2010·北京高二检测)函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f′(x)在(a,b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点____个.

【解题提示】极小值点是导数为0的点.且f(x)左减右增，即f′(x)左负右正时f(x)取得极小值.【解析】由图像看，在图像与x轴的交点处左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0的点才满足题意，这样的点只有一个B点.答案：1

4.已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y=3x-x3的极大值点坐标为(b,c),则ad=____.【解析】∵y′=3-3x2,令y′=0得x=±1,且当x1时，y′0,当-1≤x≤1时，y′≥0，当x-1时，y′0,故x=1为y=3x-x3的极大值点，即b=1,又c=3b-b3=3×1-1=2,∴bc=2,又∵a,b,c,d成等比数列，∴ad=bc=2.答案：2

5.(2010·杭州高二检测）设a∈R，若函数y=ex+ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为____.【解析】∵y=ex+ax,∴y′=ex+a,由于y=ex+ax有大于零的极值点，即方程ex+a=0有大于零的解.即a=-ex(x0)，∵当x0时，-ex-1,∴a-1.答案：a-1

6.关于x的方程x3-3x=k在R上只有一个实根，则常数k的取值范围为____.【解析】设f(x)=x3-3x-k,则f′(x)=3x2-3，令f′(x)=0,得x=-1或x=1.可得函数f(x)在(-∞,-1)和（1,+∞）上是增函数，在(-1,1)上是减函数.f(x)极大值=f(-1)=2-k，f(x)极小值=f(1)=-2-k.要使原方程只有一个实数根，只需2-k＜0或-2-k＞0解得k＞2或k＜-2.答案：(-∞,-2)∪(2,+∞)

二、解答题（每题8分，共16分）7.（2010·聊城高二检测）已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.(1)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值.(2)在点A(2,2)作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程.

【解析】(1)f′(x)=3ax2+2bx-3,依题意，f′(1)=f′(-1)=0,即解得a=1,b=0,∴f(x)=x3-3x,∴f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令f′(x)=0,得x=-1,x=1,所以f(-1)=2是极大值，f(1)=-2是极小值.

（2）曲线方程为y=x3-3x,点A（2，2）在曲线上.由k=f′(2)=3(22-1)=9,切线方程为y-2=9(x-2),即：9x-y-16=0.

8.设a为实数，已知函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x(1)当a=1时，求函数f(x)的极值.（2）若方程f(x)=0有三个不等实数根，求a的取值范围.

【解析】（1）依题意有f(x)=x3-x2,故f′（x）=x2-2x=x(x-2),由得f(x)在x=0时取得极大值f(0)=0,f(x)在x=2时取得极小值f(2)=

(2)因为f′(x)=x2-2ax+(a2-1)=[x-(a-1)][x-(a+1)],所以方程f′(x)=0的两根为a-1和a+1,显然，函数f(x)在x=a-1时取得极大值，在x=a+1时取得极小值.因为方程f(x)=0有三个不等实根，解得-2a2且a≠±1.故a的取值范围是（-2，-1）∪(-1,1)∪(1,2).

9.（10分）a为何值时,方程x3-3x2-a=0恰有一个实根,两个不等实根,三个不等实根?有没有可能无实根?【解题提示】方程可变为x3-3x2=a,∴方程实根的个数即为函数y=x3-3x2与函数y=a的图象的交点的个数.

【解析】令f(x)=x3-3x2,则f(x)的定义域为R.由f′(x)=3x2-6x=0,得x=0或x=2.∴当x0或x2时,f′(x)0;当0x2时,f′(x)0.函数f(x)在x=0处有极大值0,在x=2处有极小值-4.如图所示.

方程x3-3x2-a=0的根即为函数f(x)=x3-3x2与g(x)=a的交点的横坐标,观察图象可得.当a0或a-4时