3.3迭代法的收敛定理.ppt

第三章线性方程组迭代解法

Iterativetechniquesforsolvinglinearsystem§3.3迭代法的收敛性基本数学问题描述Theproblem一、基本收敛定理基本数学问题描述一、基本收敛定理

TheFundamentalconvergencetheorem收敛速度的概念二、Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛条件引子对角占优矩阵实例相关定理定理3.3的证明引子对角占优矩阵

diagonallydominantmatrix实例(Example)相关定理定理3.3的证明是严格对角占优阵，所以它是非奇异的，即det(?(D-L)-U)?0与特征值?满足det(?(D-L)-U)=0矛盾。故|?|1即ρ(BG)1，G-S迭代法收敛。定理得证。对于对称正定矩阵A，Jacobi迭代法不一定收敛。一般来说，可能Jacobi迭代法和Guass-Seidel迭代法都收敛，也可能都是都不收敛，或一个收敛，一个不收敛，在两者都收敛的情况下，收敛速度也不一定。p76例3.2迭代法程序简单，对于许多问题，收敛较快。因而，有时能够解决一些高阶问题。但应注意，对于某些问题，迭代法可能发散或收敛很慢，以致失去使用价值。这种情况下，仍以采用直接法为宜。只要断定系数矩阵满足收敛条件，尽管多次迭代计算工作量大一些，却能达到预定精度。**§3.3迭代法的收敛定理TheconvergencetheoremofiterativemethodTheconvergencetheoremofiterativemethodTheFundamentalconvergencetheorem二、Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛条件TheconditionforconvergenceofJacobiandGuass-Seidelmethod迭代法的收敛性，是指方程组从任意初始向量X(0)出发，由迭代算法算出向量序列随着k的增加而趋向于解向量X*。记各次误差向量Theerrorvector显然，迭代法的收敛性与误差向量序列随着k的增加而趋向于零向量是等价的。由于精确解X*自然满足因此有或再递推出Theconvergenceof{x(k)}Bk0(k?∞)由X(k+1)=BX(k)+f及X*=BX*+f可见X(k)?X*?Bk?0 (k?∞)εk+1=X(k+1)-X*=B（X(k)-X*）=·············=Bk+1（X(0)-X*）=Bk+1ε0 可推知?(B)Theorem:foranyinitialvalue,thefundamentaliterativemethoddefinedbyx(k+1)=Bx(k)+f(k=0,1,2,…)convergestotheuniquesolutionofx=Bx+fifonlyif(1)Theorem3.2:If|B|1foranyinitialvectorthesequence{x(k)}convergesandtheestimate(1)holds.Theorem3.2进一步，我们可以推知：式(1)说明，当||B||1且不接近1并且相邻两次迭代向量X(k+1)与X(k)很接近时，则X(k)与精确解X*很接近。因此，在实际计算中，用||X(k+1)-X(k)||≤ε作为迭代终止条件是合理的。Sopossiblestoppingcriteriaistoiterateuntil|x(k+1)-x(k)|issmallerthangiventoleranceε.反复利用||X(k+1)-X*||=||BX(k)-BX*||=||B(X(k)-X*)||≤‖B‖.‖X(k)-