1.6-函数的连续性(新).ppt

一、函数连续性的定义例1设函数例2设函数引例2设函数二、函数的间断点（不连续点）间断点分类:补充练习:内容小结思考与练习*二、函数的间断点一、函数连续性的定义1.6函数的连续性与间断点第一章求：解：不难发现：对于函数函数在点2处的极限值有：函数在点2处的函数值∴极限值=函数值类似的函数还有：等等解：设求所以左右极限存在且相等,故又如：又∵∴从上可看出：此类函数有一个共同的特征：就是在某一点的极限值和函数值相等。那么，这类函数究竟还有没有一些更特殊的性质呢，下面我们先给出一个新的定义。可见,函数在点定义:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数.注：所有的基本初等函数在其定义域内都是连续函数。例如：等等解:显然∴不存在。求（1）（2）并讨论其连续性。则称函数在处左连续但不右连续。解:显然∴不存在。求（1）（2）并讨论其连续性。则称函数在处右连续但不左连续。函数的左连续与右连续若函数在内有定义,且则称在点处左连续;若函数在内有定义,且则称在点处右连续;定理1函数在处连续的充要条件是函数在处既左连续又右连续.引例1设函数讨论函数在点1处的连续性。思路：考虑在点1处的极限值是否等于1点处的函数值？即：结论：在点1处没有定义，所以在1点处不连续。解:显然所以不存在.讨论在0点处的连续性。结论：函数在0点不连续。引例3解：设是函数的界点,故左右极限存在且相等,故讨论在0点的连续性。左极限：右极限：但结论：函数在0点处不连续。在在(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点.在无定义;第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡间断点.（引例3）（引例2）（引例1）间断点可能存在的地方：（如何找间断点）①函数没有定义的点（通常是没有意义的点）②界点。（指对分段函数而言）练习：课本33页第四题为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式1.讨论函数x=2是第二类无穷间断点.间断点的类型.2.设时提示:为连续函数.答案:x=1是第一类可去间断点,