7.6-线性变换的值域与核.ppt

***§2线性变换的运算§3线性变换的矩阵§4特征值与特征向量§1线性变换的定义§6线性变换的值域与核§8若当标准形简介§9最小多项式§7不变子空间小结与习题第七章线性变换§5对角矩阵一、值域与核的概念二、值域与核的有关性质§7.6线性变换的值域与核一、值域与核的概念定义1：设是线性空间V的一个线性变换，集合称为线性变换的值域，也记作或集合称为线性变换的核，也记作注：皆为V的子空间.事实上，且对有即对于V的加法与数量乘法封闭.为V的子空间.再看首先，又对有从而即故为V的子空间.对于V的加法与数量乘法封闭.定义2：线性变换的值域的维数称为的秩；的核的维数称为的零度.例1、在线性空间中，令则所以D的秩为n－1，D的零度为1.1.(定理10)设是n维线性空间V的线性变换，是V的一组基，在这组基下的矩阵是A，则1）的值域是由基像组生成的子空间，即2）的秩＝A的秩.二、有关性质即又对证：1）设于是有因此，的秩，又∴秩＝秩等于矩阵A的秩.2）由1），的秩等于基像组由第六章§5的结论3知，的秩2.设为n维线性空间V的线性变换，则的秩＋的零度＝n即证明：设的零度等于r，在核中取一组基并把它扩充为V的一组基：生成的.由定理10，是由基象组但设则有下证为的一组基，即证它们即可被线性表出.线性无关.设于是有由于为V的基.的秩＝n－r.因此，的秩＋的零度＝n.故线性无关，即它为的一组基.虽然与的维数之和等于n，但是未必等于V.如在例1中,注意：ⅰ)是满射证明：ⅰ)显然.ⅱ)因为若为单射，则3.设为n维线性空间V的线性变换，则ⅱ)是单射反之，若任取若则即故是单射.从而是单射是满射.证明：是单射4.设为n维线性空间V的线性变换，则是满射.例2、设A是一个n阶方阵，证明：A相似于证：设A是n维线性空间V的一个线性变换在一组基下的矩阵，即一个对角矩阵由知任取设则故有当且仅当因此有又所以有从而是直和.在中取一组基：则就是V的一组基.显然有，在中取一组基：用矩阵表示即所以，A相似于矩阵线性变换在此基下的矩阵为1)求及2)在中选一组基，把它扩充为V的一组基，并求在这组基下的矩阵.并求在这组基下的矩阵.3)在中选一组基，把它扩充为V的一组基，例3、设是线性空间V的一组基，已知解：1）先求设它在下的坐标为故由于有在下的坐标为解此齐次线性方程组，得它的一个基础解系：从而是