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算法经典问题系列1百钱买百鸡问题

一说起唐朝，人们就会情不自禁地想起诗歌，绝对没有人会提到数学在数

学上，虽说唐代并没有产生与其前的魏晋南北朝或其后的宋元相媲美的大师，

却在数学教育制度的确立和数学典籍的整理方面有所建树.长达近三百年的唐代

在数学方面最有意义的事情莫过于《算经十书》的整理和出版，这是高宗李治

下令编撰的。除了《周牌算经》《九章算术》《海岛算经》和《缀术》以外，

《算经十书》中至少还有三部值得一提，分别是《孙子算经》《张丘建算经》

和《缉古算经》这三部书的共同特点是，每一部都提出了一个非常有价值的问

题，并以此传世。

《张丘建算经》成书于公元5世纪，作者是北魏人.书中最后一道题堪称亮

点，通常也被称为百钱买百鸡问题，民间则流传着县令考问神童的佳话书中

原文如下：

今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买鸡百只，

问鸡翁、母、雏各几何?

题目的意思是，公鸡5文钱1只，母鸡3文钱1只，小鸡1文钱买3只，

现在用100文钱共买了100只鸡，问：在这100只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各

是多少只?(设每种至少一只)算法分析：

此题很显然是用枚举法，我们以三种鸡的个数为枚举对象(分别设为

x,y,z),以三种鸡的总数(x+y+z)和买鸡用去的钱的总数(x*3+y*2+z)为判定条件，

穷举各种鸡的个数。

枚举法，常常称之为穷举法，是指从可能的集合中一一枚举各个元素，用

题目给定的约束条件判定哪些是无用的，哪些是有用的。能使命题成立者，即

为问题的解。

1.采用枚举算法解题的基本思路：

2.确定枚举对象、枚举范围和判定条件；

3.一一枚举可能的解，验证是否是问题的解下面是解这个百鸡问题的程序

varx,y,z：integer；

beginforx：=1to100dofory：=1to100doforz：=1to100do

if(x+y+z=100)and(x*5+y*3+z/3=100)thenwriteln(x=,x,y=,y,z=,z)；

{验证可能的解，并输出符合题目要求的解}

end.

这个算法学生容易想到，而重复是计算机的拿手好戏，算法可读性好。那

么该算法执行工作量有多大呢?考虑到最耗费时间的是for循环，故计算机执行

语句次数大约是100*100*100=100万次。这个问题规模不大，所以程序在计

算机上可以很快执行完。

上面的条件还有优化的空间，三种鸡的和是固定的，我们只要枚举二种鸡

(x,y)，第三种鸡就可以根据约束条件求得(z=100-x-y)，这样就缩小了枚举范

围，请看下面的程序：

varx,y,z：integer；

beginforx：=1to100dofory：=1to100-xdobeginz：=100-x-y；

if(x*5+y*3+z/3=100)thenwriteln(x=,x,y=,y,z=,z)；

end；

end.

未经优化的程序循环了1003次，时间复杂度为O(n3)；优化后的程序只循

环了(101*100/2)次，时间复杂度为O(n2)。从上面的对比可以看出，对于枚举

算法，加强约束条件，缩小枚举的范围，是程序优化的主要考虑方向。

因公鸡5文钱一只，100文钱最多能买20只，同理，100文钱最多能买33

只母鸡。

varx,y,z：integer；

beginforx：=1to20dofory：=1to33dobeginz：=100-x-y；

if(x*5+y*3+z/3=100)thenwriteln(x=,x,y=,y,z=,z)；

end；

end.

此程序让计算机执行指令的次数大约变成20*33=660次，算法优化很多。

当然，这里问题规模太小，实际运行时感觉不到区别。《张丘建算经》上给的

解法和答案：

术曰：鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三，即得答曰：鸡翁四，值

钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡雏七