固体物理基础答案.docx

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试证理想六方密堆结构中c/a=1.633.

证明：

如图所示，六方密堆结构的两个晶格常数为a和c。右边为底面的俯视图。而三个正三角形构成的立体结构，其高度为

, ,若晶胞基矢???互相垂直，试求晶面族（hkl）

, ,

abc

解：??? ?

?? ?? ?

?a,b,c互相垂直，可令a?ai,b?bj,c?ck

? ? ?

晶胞体积v?a?(b?c)?abc

倒格子基矢：

? 2? ? ? 2? ? ? 2??

b ? (b?c)? (bj?ck)? i

1 v abc a

? 2? ? ? 2? ? ? 2??

b ? (c?a)? (ck?ai)? j

2 v abc b

? 2? ? ? 2? ? ? 2??

b ? (a?b)? (ai?bj)? k

3 v abc c

?

? ? ?

? h? k? l?

而与（hkl）晶面族垂直的倒格矢

G?hb

1

(h

(h)2?(k)2?(l)2

a

b

c

kb

2

lb ?2

3

( i? j? k)

a b c

故（hkl）晶面族的面间距

2?

?G?2?

?Gd

?

G

2? (

2? (h)2?(k)2?(l)2

a

b

c

(h

(h)2?(k)2?(l)2

a

b

c

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若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？

答：

通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5个原子。

体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为基元。布拉菲晶格是简单立方格子。

试求面心立方结构的（111）和（110）面的原子面密度。

解：

（111）面

平均每个（111）面有3?1?3?1

6 2

( 2a)2?( 2a)22

( 2a)2?( 2a)2

2

2

?2个原子。

??

2323a? a? a2

2

3

2

3

2 2

所以原子面密度?

（110）面

?

(111)

2 ? 4

33a2a

3

3a2

2

平均每个（110）面有4?1

?2?1

?2个原子。

4 2

（110）面面积a? 2a? 2a2

所以（110）面原子面密度?

? 2 ?

22a2(110) a

2

2a2

? ?? ?

设二维矩形格子的基矢为a

1

?ai,a

2

?2aj，试画出第一、二、三、布里渊区。

解：

倒格子基矢：

? 2? ? ?

2? ?

2??? ?

b ? (a

1 v 2

a)? 2aix? i(a

123 a?2a?x a 3

1

2

?xk)

? 2? ? ?

2? ?

2??

12?? ??

b ? (a ?a)? axj? j? j? b j

2 v 3 1

a?2a?x

? 2a 2 a 1

2所以倒格子也是二维矩形格子。b方向短一半。

2

? ?

最近邻b

?2

,?b;

?2 ? ?

次近邻b

,?b,2b,?2b;

1? 1?

2? ?2

? ? ? ?

再次近邻b

b,b

b,b

b,?b

b;

1 ?2 1? 2 2

1 2 1

再再次近邻3b

2

,?3b;

2

做所有这些点与原点间连线的垂直平分线，围成布里渊区。再按各布里渊区的判断原则进行判

断，得：

第一布里渊区是一个扁长方形；

第二布里渊区是2块梯形和2块三角形组成；

第三布里渊区是2对对角三角和4个小三角以及2个等腰梯形组成。

六方密堆结构的原胞基矢为：

3? 1 ? ?

3

a ? ai? aj

1 2 2

3? 1 ? ?

3

a ?? ai? aj

?2 ?2 2

a ?ck

3

试求倒格子基矢并画出第一布里渊区。

解：

原胞为?

v?a

简单?

(a

六方?

a

结构。原胞体积：

)

1 2 3

1 ? ?

1 ? ? ?

33? a(i? j)?[ a(?i? j)?ck]

3

3

2 2

ijji1 ? ? 1 ? ?

i

j

j

i

? a( ? 3 )?[ ac( ? 3)]

2 2

1 ? ? ? ?

3? a2c(i?

3

34

3

? a2c

2

倒格子基矢：

? 2? ? ?

j)