线性代数居余马第5章特征值与特征向量.pptVIP

线性代数居余马第5章特征值与特征向量目录CONTENCT特征值与特征向量基本概念矩阵对角化及其条件特征值与特征向量求解方法特征值与特征向量应用举例广义特征值与广义特征向量简介01特征值与特征向量基本概念特征值特征向量特征值与特征向量定义设A是n阶方阵，如果存在数λ和非零n维列向量x，使得Ax=λx成立，则称λ是A的一个特征值。对应于特征值λ的非零n维列向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。设A是n阶方阵，则行列式|λE-A|称为A的特征多项式，记作f(λ)。特征多项式f(λ)=0的方程称为A的特征方程。特征多项式与特征方程特征方程特征多项式不同特征值对应的特征向量线性无关。k重特征值至多对应k个线性无关的特征向量。若λ1,λ2,...,λk是A的k个不同的特征值，α1,α2,...,αk分别是对应于这些特征值的线性无关的特征向量，则α1,α2,...,αk线性无关。特征值与特征向量性质02矩阵对角化及其条件相似矩阵与对角化定义相似矩阵设$A,B$都是$n$阶矩阵，若存在可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=B$，则称$A$与$B$相似，记作$AsimB$。对角化定义设$A$是$n$阶矩阵，若存在可逆矩阵$P$和对角矩阵$Lambda$，使得$P^{-1}AP=Lambda$，则称$A$可对角化。010203对角化条件$n$阶矩阵$A$可对角化的充分必要条件是$A$有$n$个线性无关的特征向量。若$n$阶矩阵$A$的$n$个特征值互不相等，则$A$一定可以对角化。对角化条件及判定方法对角化条件及判定方法判定方法计算矩阵$A$的特征多项式，求出全部特征值。对于每个特征值$lambda_i$，求出对应的特征向量空间的维数（即特征子空间的维数）。若所有特征子空间的维数之和等于$n$，则$A$可对角化。01020304051.求出矩阵$A$的特征多项式，解出全部特征值$lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_n$。2.对于每个特征值$lambda_i$，求出对应的特征向量空间的一组基$alpha_{i1},alpha_{i2},ldots,alpha_{ik_i}$，其中$k_i$是$lambda_i$的重数。3.将所有特征向量空间的基按列排成一个矩阵$P=[alpha_{11},alpha_{12},ldots,alpha_{1k_1},alpha_{21},ldots,alpha_{nk_n}]$。4.计算对角矩阵$Lambda=text{diag}(lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_n)$。5.验证对角化结果：计算$P^{-1}AP$，看是否等于$Lambda$。若相等，则对角化成功；否则，对角化失败。矩阵对角化步骤03特征值与特征向量求解方法特征多项式求解方法030201计算矩阵A的特征多项式f(λ)=|λE-A|；求解特征多项式f(λ)=0的根，得到矩阵A的特征值λ；将求得的特征值λ代入方程组(λE-A)X=0中，求解得到对应的特征向量X。对于给定的特征值λ，列出方程组(λE-A)X=0；解方程组，得到基础解系，即特征向量；若方程组有非零解，则对应的特征值λ为特征多项式的根。010203特征向量求解方法重复特征值对应特征向量求解01若矩阵A有重复的特征值λ，则需要求解方程组(λE-A)X=0的通解；02通解的形式为k1α1+k2α2+...+ksαs，其中α1,α2,...,αs为方程组的基础解系；选取不同的k1,k2,...,ks的值，可以得到不同的特征向量。0304特征值与特征向量应用举例010203利用特征值和特征向量进行矩阵对角化，从而简化矩阵的幂运算。在求解矩阵方程时，通过特征值和特征向量的性质，降低计算复杂度。利用特征值和特征向量的关系，判断矩阵是否相似或合同，进一步简化计算过程。在矩阵运算中简化计算