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某些图的色轨道多项式及其应用的中期报告
本篇中期报告将会讨论一些图的色轨道多项式及其应用。
1.色轨道多项式的定义
色轨道多项式(Chromaticpolynomial)是用来计算一个图的每一种着色方式数量的多项式。具体来说,给定一个无向图G=(V,E),它的色轨道多项式P(G,k)定义如下:
(1)当k=1时,P(G,k)=1,因为每个节点都可以用同一种颜色着色。
(2)当k1时,P(G,k)=P(G-e,k)-P(G/e,k),其中e是图G中的一条边,G-e表示删除边e后得到的图,G/e表示把边e缩成一个点后得到的图。
例如,下面是一个图的色轨道多项式的计算过程:
从图中选取一条边e,删除该边得到图G-e。
从图中选择一条边e,并把连接e的两个节点缩成一个节点,得到图G/e。
将P(G-e,k)和P(G/e,k)的结果相减得到P(G,k)。
2.色轨道多项式的性质
(1)如果一个图G是k着色的,那么P(G,k)=1。
(2)如果一个图G是完全图,那么它的色轨道多项式为P(G,k)=k^n,其中n是图中节点的数量。
(3)如果一个图G是二分图,那么它的色轨道多项式为P(G,k)=(k-1)^c*k^d,其中c和d分别是G的奇节点数和偶节点数。
3.应用
(1)计算一个图的色轨道多项式常常用于计算着色数量或者证明某些结论。
(2)色轨道多项式还可以用来证明一些图的性质,例如图的可平面性等。
(3)通过对图的色轨道多项式的研究,可以得到许多关于图的信息,例如图的色数、固有配分数等。
参考文献:
[1]Bollobás,B.(1998).Moderngraphtheory(Vol.184).Springer-Verlag.
[2]Biggs,N.(1993).Algebraicgraphtheory(2nded.).CambridgeUniversityPress.
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