《函数的单调性》函数的概念与性质(第1课时单调性的定义与证明).pptx

《函数的单调性》函数的概念与性质(第1课时单调性的定义与证明)汇报人：2023-12-22

函数单调性的定义单调性的证明方法单调性的应用课堂练习与思考目录

函数单调性的定义01

函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增，则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表示函数值随着自变量的增加而减小。函数单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。函数单调性的定义

对于任意$x_1x_2$，如果$f(x_1)f(x_2)$，则称函数$f(x)$在区间$[x_1,x_2]$上单调递增。单调递增对于任意$x_1x_2$，如果$f(x_1)f(x_2)$，则称函数$f(x)$在区间$[x_1,x_2]$上单调递减。单调递减单调性定义的数学符号表示

在平面坐标系中，如果函数图像在某个区间内随着$x$的增加而上升，则该函数在该区间内单调递增。在平面坐标系中，如果函数图像在某个区间内随着$x$的增加而下降，则该函数在该区间内单调递减。单调性定义的几何意义单调递减单调递增

单调性的证明方法02

0102导数与单调性的关系导数小于0时，函数在该区间内单调递减。导数大于0时，函数在该区间内单调递增；

1.确定函数定义域；2.求导数；3.判断导数的符号；4.根据导数的符号判断函数的单调性用导数证明单调性的步骤

$y=ax+b$，其中$a0$时，函数单调递增；$a0$时，函数单调递减。一次函数指数函数对数函数$y=a^x$，其中$a1$时，函数单调递增；$0a1$时，函数单调递减。$y=log_ax$，其中$a1$时，函数单调递增；$0a1$时，函数单调递减。030201常见函数的单调性证明示例

单调性的应用03

单调性在不等式证明中起到关键作用，通过单调性可以简化不等式的证明过程。总结词

单调性可以确定函数值的大小关系，从而在证明不等式时，可以根据单调性判断不等式的真假。例如，如果函数在某区间内单调递增，那么对于该区间内的任意两个数x1和x2，如果x1x2，则函数值f(x1)=f(x2)，从而证明了不等式。详细描述

单调性在求函数最值中起到重要作用，通过单调性可以快速找到函数的最值点。总结词

对于连续函数，如果在某个区间内单调递增或递减，那么该函数在此区间内一定存在最值点。因此，利用单调性可以快速找到函数的最值点，从而简化求函数最值的计算过程。详细描述

总结词单调性在实际问题中有着广泛的应用，通过单调性可以更好地理解和解决实际问题。

单调性可以用于研究经济现象、生物种群数量变化、气候变化等问题。例如，在经济学中，利用函数的单调性可以分析商品价格与需求量之间的关系；在生态学中，利用函数的单调性可以研究种群数量的变化规律；在气候学中，利用函数的单调性可以分析气温或降水量的变化趋势。通过这些实际问题的研究，可以更好地理解和解决实际问题。详细描述

课堂练习与思考04

2.证明函数$f(x)=x^3$在区间$(-infty,+infty)$上是增函数。3.已知函数$f(x)=frac{1}{x}$，求其在区间$(0,+infty)$上的单调性。1.判断函数$f(x)=x^2-2x$在区间$(-infty,a)$上是减函数的条件是什么？课堂练习题

1.答案$aleq1$。解析：对于函数$f(x)=x^2-2x$，其导数为$f(x)=2x-2$，令$f(x)0$，解得$x1$，因此，在区间$(-infty,a)$上，函数是减函数的条件是$aleq1$。2.答案证明略。解析：通过求导数$f(x)=3x^2$，可以看出在区间$(-infty,+infty)$上，导数恒大于等于0，因此函数是增函数。3.答案函数在区间$(0,+infty)$上是减函数。解析：对于函数$f(x)=frac{1}{x}$，其导数为$f(x)=-frac{1}{x^2}$，在区间$(0,+infty)$上，导数恒小于0，因此函数是减函数。练习题答案与解析

1.如何判断一个函数在某个区间上的单调性？2.如何利用导数证明函数的单调性？3.对于给定的函数，如何确定其单调增或单调减的区间？课后思考题

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