重难点突破：专题07 实数（解析版）.docxVIP

专题07实数

重点

无理数的概念；实数的概念及分类；实数的运算

难点

实数与数轴上的点一一对应关系

易错

对实数与数轴上点的关系理解不透

一、无理数的判断

1．判断一个数是不是无理数，必须看它是否同时满足两个条件：无限小数和不循环小数这两者缺一不可．

2．带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数．

【例1】在、、、、0.030030003…、3.1415926…、中，无理数有（???????）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【解析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．

解答：解：无理数有、?π、0.030030003…、3.1415926…、共4个，

故选：D．

【例2】在实数，，0.1010010001…，，中无理数有（??????????）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】B

【解析】解：，是整数，属于有理数；

是分数，属于有理数；

无理数有0.1010010001…，，，共3个．

故选：B．

二、实数的概念和分类

1．实数的分类有不同的方法，但要按同一标准，做到不重不漏．

2．对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类．

【例3】下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（???????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】解：①无理数都是实数，正确；②错误，实数包括无理数和有理数；③错误，无限循环小数是有理数；④错误，带根号的数不一定是无理数，如；⑤错误，不带根号的数不一定是有理数，如π等无限不循环小数，错误；

故选：D．

【例4】下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③﹣不仅是有理数，而且是分数；④是无限不循环小数，所以不是有理数；⑤无限小数不一定都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；⑦非负数就是正数；⑧正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；其中错误的说法的个数为（）

A．7个 B．6个 C．5个 D．4个

【答案】B

【解析】解：①没有最小的整数，所以原说法错误；

②有理数包括正数、0和负数，所以原说法错误；

③﹣是无理数，所以原说法错误；

④是无限循环小数，是分数，所以是有理数，所以原说法错误；

⑤无限小数不都是有理数，所以原说法正确；

⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，所以原说法正确；

⑦非负数就是正数和0，所以原说法错误；

⑧正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，所以原说法错误；

故其中错误的说法的个数为6个．

故选：B．

三、实数与数轴

两个实数比较大小：

1．数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大；

2．正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较，绝对值大的反而小．

【例5】如图，点A，B，C在数轴上，且点A是BC的中点．点A，B表示的数分别为-1，，则点C表示的数为（??????????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】解：设点C所表示的数为x，

根据题意，得，

∴，

∴点C表示的数为.

故选：D.

【例6】如图，根据图中标注在点A所表示的数为（???????）

A．﹣ B．﹣1﹣ C．﹣1＋ D．1﹣

【答案】B

【解析】解：如图，在Rt△PBQ中，由勾股定理得，

，

而PA=PQ=，

∴点A到原点的距离为+1，

∴点A所表示的数为-（+1）=-1-，

故选：B．

四、相反数与绝对值

求一个有理数的相反数和绝对值与求一个实数的相反数和绝对值的意义是一样的，实数a的相反数是-a，一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．

【例7】实数-2022是2022的（???????）

A．绝对值 B．相反数 C．倒数 D．以上都不正确

【答案】B

【解析】解：由题意得：-2022是2022的相反数，

故选B．

【例8】的相反数、倒数、绝对值各是（???????）

A．5，，5 B．5，，5 C．，，5 D．，，

【答案】B

【解析】解：-5的相反数是5，-5的倒数是，-5的绝对值是5，

故选：B．

五、实数的运算

1．在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算性质、运算顺序、运算律等同样适用．

2．在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算．

【例9】的值为()

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】原式

；

故答案为：A.

【例10】下列算式中：①；②；③；④；⑤；⑥；计算结果是正数的有（???）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】C

【解