线性代数课件第二章.ppt

(1)由阶梯形矩阵有三个非零行可知**用消元法**令代入方程组，得解*消元法的三类变换：（1）对调二个方程的次序；（2）以非零的数k乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．由于三类变换都是可逆的，因此变换前的方程组与变换后是同解的．*定义1：下面三类变换称为矩阵的初等行变换:同样可定义矩阵的初等列变换(把“r”换成“c”)．初等行变换和初等列变换统称初等变换。*三类初等变换都是可逆的，并且其逆变换是同一类的初等变换。*定义2：若矩阵A经过有限次初等变换变成B，则称A与B等价，记作A～B.矩阵的等价关系满足：反身性A～A；对称性若A～B，则B～A；传递性若A～B，B～C，则A～C。初等矩阵*定义3：由单位矩阵经过一次初等变换所得矩阵称为初等矩阵。三类初等变换与三类初等方阵相对应****三类初等矩阵都是可逆的，并且其逆矩阵、转置矩阵都是同一类的初等矩阵。*定理1：设A为m×n矩阵，则**推论方阵A可逆的充要条件是A可以表示为若干个初等矩阵的乘积。定理：方阵A可逆，则可通过初等变换将A化为单位矩阵E.*方阵A可逆的充要条件是A~E推论：推论：m×n阵A与B等价的充要条件是存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使得PAQ=B注意到可逆阵可表示为若干个初等阵的乘积。*例.*即*解：例：***例：解：初等行变换**§6矩阵的秩*定义：在矩阵A中，任取k行、k列所得的k2个元素不改变它们的相对位置而得的k阶行列式，称为A的一个k阶子式，记为Dk。（1≤k≤min｛m，n｝）A的一个2阶子式：*定义：矩阵A的最高阶非零子式的阶数称为A的秩，记作R(A)。例4.求矩阵A和B的秩,其中*2阶子式3阶子式|A|=03阶子式4阶子式都=0∴R(A)=2∴R(B)=3二、矩阵秩的计算问题：经过初等变换后，矩阵的秩变吗？初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例4解*例：*解**于是*例：设解方程解：**例：所以A可逆，且证：*所以可逆，*例：设Ax=b,A是n阶可逆阵,*§4分块矩阵矩阵的分块法是讨论矩阵时一种有效的手段。具体做法是：将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的一个子块，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.**例：**分块矩阵的运算规则*******(一)分块对角矩阵的行列式具有下述性质:*(三)*例：设*解:*则*又*于是*例：设解：**(1)加法:(2)数乘:(3)乘法:分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似。**§5矩阵的初等变换和初等矩阵*引例求解线性方程组*方阵的多项式：*例.设求**三.矩阵的转置与对称矩阵定义:把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作.例:*转置矩阵满足的运算规律：*例5：已知*解1：*解2：*对称阵的元素以主对角线为对称轴。对称阵:设A为n阶方阵，如果满足，即那末A称为对称阵.*反对称阵:设A为n阶方阵，若满足，即则称A为反对称阵.显然,反对称阵的主对角元都是零。*例注：对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵*四、方阵的行列式定义：由n阶方阵A的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作|A|或detA*运算规律：注：虽然但§3逆矩阵*一、定义：设A是n阶矩阵，若存在n阶矩阵B使AB=BA=E则称A是可逆的，并称B是A的逆矩阵，*若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。记A的逆矩阵为*定义：行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵称为矩阵A的伴随矩阵.二、方阵A可逆充要条件**性质：*