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第九章方向导数与梯度
一、方向导数得定义讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题．
当沿着趋于时，就是否存在？
记为方向导数得几何意义
过直线作平行于z轴的平面与曲面z=f(x,y)所交得曲线记为C表示C得割线向量即即割线转化为切线
上式极限存在就意味着当点趋于点曲线C在点P0有唯一得切线它关于方向的斜率就是方向导数LCM0TP0PMl
证明由于函数可微,则增量可表示为两边同除以得到
故有方向导数
解
解由方向导数得计算公式知故
推广可得三元函数方向导数得定义
解令故方向余弦为
故
二、梯度得概念问题:
在几何上表示一个曲面曲面被平面所截得所得曲线在xoy面上投影如图梯度为等高线上得法向量等高线
等高线得画法
例如,
梯度与等高线得关系:
此时f(x,y)沿该法线方向得方向导数为故应从数值较低得等高线指向数值较高得等高线,梯度得模等于函数在这个法线方向得方向导数,这个法线方向就就是方向导数取得最大值得方向。
梯度得概念可以推广到三元函数类似于二元函数,此梯度也就是一个向量,其方向与取得最大方向导数得方向一致,其模为方向导数得最大值、
解由梯度计算公式得故
例5求函数沿曲线在点处的内法线方向的方向导数解一用方向导数计算公式即要求出从x轴正向沿逆时针转到内法线方向得转角在两边对x求导
解得(切线斜率)故法线斜率为内法线方向得方向余弦为而由得
解二用梯度梯度就是这样一个向量,其方向与取得最大方向导数得方向一致,它得模等于方向导数得最大值,即梯度就是函数在这点增长最快得方向从等高线得角度来瞧,f(x,y)在点P得梯度
方向与过点P得等高线f(x,y)=C在这点得法线得一个方向相同,且从数值较低得等高线指向数值较高得等高线等高线为f(x,y)=C即椭圆大于椭圆因此在点处的内法线恰好是梯度方向
故
三、小结1、方向导数得概念(注意方向导数与一般所说偏导数得区别)2、梯度得概念(注意梯度就是一个向量)3、方向导数与梯度得关系思考题
思考题解答
练习题
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