北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项45四点共圆(原卷版+解析).docxVIP

专项45四点共圆

1.四点共圆

如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．

2．四点共圆的性质

(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等．

(2)圆内接四边形的对角互补．

(3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．

3．四点共圆的判定

(1)用“角”判定：

①一组对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上；

②一个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点在同一个圆上；

③如果两个三角形有一条公共边，且位于公共边同侧的两个角相等，则这两个三角形的四个顶点在同一个圆上．

(2)“等线段”判定：

四顶点到同一点的距离相等，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点共圆．

(3)用“比例线段”判定：

若线段AB，CD(或其延长线)交于点P，且PA·PC＝PB·PD，则A，B，C，D四点共圆.

模型解读：

模型1：对角互补型：

若∠A+∠C=180o或∠B+∠D=180o,

则A、B、C、D四点共圆

模型2：同侧等角型

（1）若∠A=∠C,

则A、B、C、D四点共圆

（2）手拉手(双子型)中的四点共圆

条件：△OCD∽△OAB

结论：①△OAC∽△OBD

②AC与BD交于点E,必有∠AEB=∠AOB；

③点E在△OAB的外接圆上,即O、A、B、E四点共圆.同理：ODCE也四点共圆.

模型3：直径是圆中最长的弦

1.定圆中最长的弦是直径；

2.经过圆中定点最短的弦是垂直于过这点直径的弦；

3.定弦中最小的圆是以该弦为直径的圆。

【模型1：对角互补型】

【典例1】如图,正方形ABCD绕点A逆时针旋转到正方形AEFG,连接BE,延长BE交于CF于点M,求证：M是线段CF的中点.

【变式1】如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P、E分别是线段AC、BC上的点,四边形PEFD为矩形,若AP=2,求CF的长。

【模型2：同侧等角型】

【典例2】在Rt△ABC中,∠ACB=90o,将△ABC绕点A顺时针旋转αo

(0＜α＜180)得△ADE,∠AED=90o,直线BD与直线CE的交点为P.

求证：PB=PD

【模型3：直径是圆中最长的弦】

【典例3】在△ABC中,∠ACB=90o,AC=6,BC=8,O为AB的中点,过O作OE⊥OF,OE、OF分别交射线AC,BC于E、F,则EF的最小值为?

【变式3】如图,在⊙O中,直径AB=12,点D是圆上任意一点(A,B除外),点P为CD的中点,过点D作DE⊥AB于点E,连接AD,EP.求EP的最大值。

【随堂精练】

1．（2021秋?永泰县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将△ABC绕A点顺时针旋转得到△ADE，使D点落在BC边上．

（1）求∠BAD的度数；

（2）求证：A，D，B，E四点共圆．

2．如图，四边形ABCD是某高新区核心地块用地示意图，经测量得如下数据：AB＝30km，BC＝40km，∠B＝120°，∠A+∠C＝180°，请计算这块规划用地的最大面积．

3．如图，已知AC＝BC＝4，点D是AB下方一点，且∠C＝∠D＝90°，求四边形ACBD面积的最大值．

1．（2021秋?渝北区期末）如图，圆内接四边形ABCD的外角∠ABE为80°，则∠ADC度数为（）

A．80° B．40° C．100° D．160°

2．（2021秋?滨湖区期中）如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB+CD的最大值（）

A．4 B．8 C．10 D．6

3．（2022?靖江市二模）如图，AB⊥BC，AB＝5，点E、F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF为斜边向上作等腰Rt△DEF，∠D＝90°，连接AD，则AD的最小值为．

4．如图，△ABC和△BCD均为直角三角形，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝2，连接AD．若∠ADB＝30°，则AC的长为．

5．如图，在四边形ABCD中，BD＝6，∠BAD＝∠BCD＝90°，则四边形ABCD面积的最大值为．

6．如图，在△ABC和△ACD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，AC＝6，则AD的最大值为．

7．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E，F分别为AB，AC边上的点，且∠EDF＝90°，连接EF，则∠DEF的度数为．

8．（2022秋?萧山区月考）如图，以C为公共顶点的Rt△ABC和Rt△CED中，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠A＝∠DCE＝30°，且点D在线段AB上，则∠ABE＝30°，若AC＝10，CD＝9，则BE＝．

9．（2021秋?宽城区期末）【问题原型】如图①，在⊙O中，弦BC所对的圆心角∠B