第一课时　函数的单调性.DOCX

5.3导数在研究函数中的应用

5.3.1函数的单调性

第一课时函数的单调性

课标要求1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.

素养要求通过利用导数研究函数的单调性，结合函数的图象对其加以理解，发展数学运算和直观想象素养.

一、函数的导数与单调性的关系

1.思考观察下面几个图象，探究函数的单调性和导数的正负的关系.

提示(1)函数y＝x的定义域为R，并且在定义域上是增函数，其导数y′＝10；

(2)函数y＝x2的定义域为R，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.而y′＝2x，当x0时，其导数y′0；当x0时，其导数y′0；当x＝0时，其导数y′＝0；

(3)函数y＝x3的定义域为R，在定义域上为增函数.而y′＝3x2，当x≠0时，其导数3x20；当x＝0时，其导数3x2＝0；

(4)函数y＝eq\f(1,x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调增减，而y′＝－eq\f(1,x2)，因为x≠0，所以y′0.

从以上四个函数的单调性及其导数符号的关系上说明，在区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递增；如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递减.

2.填空在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：

导数

函数的单调性

f′(x)0

单调递增

f′(x)0

单调递减

f′(x)＝0

常函数

温馨提醒(1)当f′(x)＝0时，f(x)是常函数；(2)原函数的图象只看增(减)的变化，导函数的图象只看正(负)变化.

3.做一做函数f(x)＝2x＋cosx在(－∞，＋∞)上()

A.是增函数 B.是减函数

C.单调性不确定 D.是奇函数

答案A

解析∵f′(x)＝2－sinx0，

∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数.

二、函数图象与导函数图象的关系

1.思考观察下图，试分析函数增长或减少的速度与导数的大小关系？

提示由图象可知若f′(x)0，则f(x)单调递增，而导数值的大小不同决定了函数增长的快慢，显然f′(x)越大，函数f(x)增长的就越快；同样，若f′(x)0，则f(x)单调递减，显然eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f′（x）))越大，函数f(x)递减的就越快.

2.填空一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：

导数的绝对值

函数值变化

函数的图象

越大

快

比较“陡峭”(向上或向下)

越小

慢

比较“平缓”(向上或向下)

3.做一做已知函数f(x)在R上有导函数，f(x)的图象如图所示，则下列不等式正确的是()

A.f′(a)f′(b)f′(c)

B.f′(b)f′(c)f′(a)

C.f′(a)f′(c)f′(b)

D.f′(c)f′(a)f′(b)

答案A

解析如图，分别作曲线在x＝a，x＝b，x＝c三处的切线l1，l2，l3，设切线的斜率分别为k1，k2，k3，易知k1k2k3，

又f′(a)＝k1，f′(b)＝k2，f′(c)＝k3，

所以f′(a)f′(b)f′(c).故选A.

题型一函数图象与导函数图象的关系

例1(1)已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的()

(2)若函数y＝f′(x)图象如图所示，则y＝f(x)图象可能是()

答案(1)D(2)C

解析(1)由题意可知，当x0和x2时，导函数f′(x)0，函数f(x)是减函数；

当x∈(0，2)时，导函数f′(x)0，函数f(x)是增函数，

故函数f(x)的图象如图D.

(2)由y＝f′(x)图象可得：在(－∞，b)上f′(x)≥0，在(b，＋∞)上f′(x)0，

根据原函数图象与导函数图象的关系可得：

y＝f(x)在(－∞，b)上单调递增，在(b，＋∞)上单调递减，可排除A，D，

且在x＝0处，f′(x)＝0，即在x＝0处，y＝f(x)的切线的斜率为0，可排除B，故选C.

思维升华函数的单调性可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图象上升；符号为负，图象下降.看导函数图象时，主要是看图象在x轴上方还是下方，即关心导数值的正负，而不是其单调性.解决问题时，一定要分清是函数图象还是其导函数图象.

训练1(多选)在同一坐标系中作出三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)及其导函数的图象，下列一定不正确的序号是()

答案CD

解析当f′(x)0时，y＝f(x)是递增的；当f′(x)0时，y＝f(x)是递减的.故可得，A，B选项中函数图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻