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一、命题
§1–2 简易逻辑
如果一个命题的逆命题是真命题,那么这个命题的( ).
(A)否命题必是真命题 (B)否命题必是假命题
(C)原命题必是假命题 (D)逆否命题必是真命题解析 一个命题的逆命题与否命题真假相同,答案为A.
命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是( ).
(A)不存在x∈R,x3-x2+1≤0
(B)存在x∈R,x3-x2+1≤0
(C)存在x∈R,x3-x2+10
(D)对任意的x∈R,x3-x2+10
解析 “对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“存在x∈R,使得x3-x2+10”,答案为C.
与命题“若a?M,则b?M”等价的命题是( ).
(A)若b∈M,则a?M (B)若b?M,则a∈M
(C)若b∈M,则a∈M (D)若a?M,则b∈M
解析 逆否命题与原命题互为等价命题,原命题的逆否命题为“若b∈M,则a∈M”,所以,答案为C.
设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可以推出f(k+1)≥(k+1)2成立”,那么,下列命题总成立的是( ).
若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立
若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立
若f(7)49成立,则当k≥8时,均有f(k)k2成立
若f(4)=25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立
解析 由2516得f(4)=25使得f(4)≥42成立,由已知可得当k≥4时,均有f(k)≥k2成立,答案为D.
1.2.5 命题“若x21,则-1x1”的逆否命题是( ).
(A)若x2≥1,则x≥1或x≤-1 (B)若-1x1,则x21
(C)若x1或x-1,则x21 (D)若x≥1或x≤-1,则x2≥1
解析 命题“若x21,则-1x1”的逆否命题是“若x≥1或x≤-1,则x2≥1”,答案为
D.
在原命题“若A∪B≠B,则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是 .
解析 原命题的逆否命题为“若A∩B=A,则A∪B=B”.当A∩B=A时,任取x∈A=
A∩B,必有x∈B,则A?B,必有A∪B=B成立,所以,逆否命题和原命题都是真命题.原命题的否命题为“若A∪B=B,则A∩B=A”,同上,可知否命题和逆命题也都是真
命题.所以,在这四个命题中,真命题的个数是4.
若a,b都是非零实数,证明:|a|+|b|=|a+b|与ab0等价.
解析 若|a|+|b|=|a+b|,则(|a|+|b|)2=|a+b|2,a2+b2+2|a||b|=a2+b2+2ab,于是,|ab|
=ab,可得ab0;
若ab0,则或于是,|a|+|b|=|a+b|.
所以,当a,b都是非零实数时,|a|+|b|=|a+b|与ab0等价.
已知A和B都是非空集合,证明:“A∪B=A∩B”与“A=B”是等价的.
解析 若A∪B=A∩B,则任取x∈A,必有x∈A∪B=A∩B,于是,x∈A∩B,则x∈B,所以,A?B,同理可得B?A,于是,A=B;若A=B,则显然有A∪B=A∩B,所以,“A∪B
=A∩B”与“A=B”是等价的.
已知a,b,c是实数,则与“a,b,c互不相等”等价的是( ).
(A)a≠b且b≠c (B)(a-b)(b-c)(c-a)≠0
(C)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0 (D)a2,b2,c2互不相等
解析 由于不相等关系不具有传递性,当a≠b且b≠c,a与c可能相等;
由(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0可得a=b,b=c,c=a中至少有一个不成立,即(a-b)2
+(b-c)2+(c-a)2≠0等价于“a,b,c不全相等”,而不能等价于“a,b,c互不相等”;
a=-1,b=0,c=1,此时a,b,c互不相等,但a2=c2,所以,“a,b,c互不相等”与“a2,b2,c2互不相等”不是等价的;
a≠b等价于a-b≠0,“a,b,c互不相等”等价于a-b≠0,b-c≠0,c-a≠0同时成立,所以,“a,b,c互不相等”与“(a-b)(b-c)(c-a)≠0”等价,答案为B.
1.2.10 命题“若ab=0,则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为.解析 原命题的逆否命题为“若
1.2.10 命题“若ab=0,则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为
.
给出下列四个命题:
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