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数列和不等问题(教师版)
一.先求和后放缩(主要是先裂项求和,再放缩处理)
Sn例1.正数数列?a?的前n项的和S,满足
S
n
n n
数列?a?的通项公式;
n
?a ?1,试求:
n
设b ? 1 ,数列?b
?的前n项的和为B
,求证:B ?1
n aa
n
n
n?1
n n 2
解:(1)由已知得4S
n
?(a
n
?1)2,n?2时,4S
n?1
?(a
n?1
?1)2,作差得:
? ?
4a ?a2?2a
?a2 ?2a
,所以(a ?a )(a ?a
?2)?0,又因为a
为正数数列,所以
Sn n n
S
?n?1?
n?1
n n?1 n
n?1 n
a ?a
n
n?1
?2,即a
n
是公差为2的等差数列,由2
?a?1,得a
1 1 1
?1,所以a
n
?2n?1
(2)b ? 1 ??1
?1( 1
? 1 ),所以
n aa
n
n?1
(2n?1)(2n?1) 2 2n?1 2n?1
B ?1(1?1?1?1 1 ? 1 )?1? 1 ?1
n 2 3 3 5 2n?1 2n?1 2 2(2n?1) 2
真题演练1:(06全国1卷理科22题)设数列?a
?的前n项的和,S
n n
?4a3
? ?2n?1? ,n?1,2,3,
1 2n 3 3
1 2
3(Ⅰ)求首项a
3
与通项a
;(Ⅱ)设T
?2n
,n?1,2,3,
,证明:?n
T? .
1 n n S
n
i 2
i?1
4 1 2 4 1 2
解:(Ⅰ)由S=a-×2n+1+,n=1,2,3,…,① 得a=S= a-×4+ 所以a=2
n3n 3 3
1 1 31 3 3 1
4 1 2
再由①有S =a -×2n+,n=2,3,4,…
n-13n-1 3 3
4 1
将①和②相减得:a=S-S = (a-a )-×(2n+1-2n),n=2,3,…
n n n-1 3 n n-1 3
整理得:a+2n=4(a +2n-1),n=2,3,…,因而数列{a+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即:
n n-1 n
a+2n=4×4n-1=4n,n=1,2,3,…,因而a=4n-2n,n=1,2,3,…,
n n
4 1 2 1
(Ⅱ)将a=4n-2n代入①得S= ×(4n-2n)-×2n+1+ = ×(2n+1-1)(2n+1-2)
n n 3 3 3 3
2
= ×(2n+1-1)(2n-1)3
2n 3 2n 3 1 1
T= = × = ×( - )
n S 2 (2n+1-1)(2n-1) 2 2n-1 2n+1-1
n
所以,
?nT=
3?n
( 1 -
1 3 1 1 3
) = ×( - )
i
i?1
2
i?1
2i-1 2i+1-1 2 21-1
2n?1?1 2
二.先放缩再求和
放缩后成等比数列,再求和
例2.等比数列?a
n
?中,a
1
??1,前n项的和为S
2 n
,且S
7
,S,S
9 8
成等差数列.
a2 ? ??1
设b ???n ,数列b
n 1?a n
n
前n项的和为T
n
,证明:T ? .
n 3
解:∵A?A
9 7
?a?a,A?A
8 9 8 9
1
??a,a?a
9 8 9
??a
9
,∴公比q?a
9a
9
8
??1.
2
1∴a ?(? )n.b ? 4n ?
1
1 ? 1 .
1n 2 n
1
1?(? )n
2
4n?(?2)n 3?2n
(利用等比数列前n项和的模拟公式S
n
?Aqn?A猜想)
1(1?1)
∴B ?b?b
??b ? 1 ? 1
??? 1 ?1?
2 22
?1(1?1)?1.
n 1 2
n 3?2 3?22
3?2n 3
1?1
2
3 2n 3
真题演练2:(06福建卷理科22题)已知数列?a
?满足a
?1,a
?2a
?1(n?N*).
(I)求数列?a
n
?
?的通项公式;
?
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