2024年中考数学一轮复习讲义---相似三角形的性质和判定 培优练习.docxVIP

相似三角形的性质和判定培优练习

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相似三角形的性质和判定

了解两个三角形相似的概念

会利用相似三角形的性质和判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题

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二、核心纲要

1.比例的性质

(1)基本性质:a

(2)反比性质:a

(3)更比性质:a

(4)合比性质:a

(5)分比性质:a

(6)等比性质:a

2.比例线段的相关概念

(1)两条线段的比：两条线段长度的比叫做这两条线段的比.

(2)成比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果线段a与b的比等于c与d的比，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.记作：ab=c

注：线段的单位要统一.

(3)比例中项:在线段a,b,c中,若ab=bc,则称b是

(4)黄金分割点：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BCACBC),若ACAB=BCAC,即AC2=AB?BC,，则称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC

注：线段的黄金分割点有两个.

3.相似图形：形状相同的图形叫相似图形.

4.相似三角形

(1)相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形.

(2)相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”.

注：经常把表示对应角顶点的字母写在对应位置上.

(3)相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比.

(4)相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等.

②相似三角形的对应边成比例.

③相似三角形的对应高的比等于相似比.

④相似三角形的周长比等于相似比.

⑤相似三角形的面积比等于相似比的平方.

(5)平行线分线段成比例定理

①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如下图所示：l?‖l?‖l?.

则AB

②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.

(6)相似三角形的判定定理

①预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.

②相似三角形的判定定理

判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.简述为：两个角对应相等，两个三角形相似.

判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.

判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.简述为：三边对应成比例，两个三角形相似.

(7)直角三角形相似

①判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.

②直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似.如下图所示,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是斜边AB上的高.则有如下结论:

ACD∽CBD?ADCD=CD

ACD∽ABC?ACAB=

ABC∽CBD?BCAB

5.位似

(1)定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行(或共线)，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.

注：①两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形.

②两个位似图形的位似中心只有一个.

③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧.

④位似比等于相似比.

(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比(相似比).

6.常见的基本相似图形(如下图所示)

(1)“A”字型、反“A”字型(斜“A”字型);(2)“8”字型、反“8”字型(蝴蝶型).

本节重点讲解：两个性质(相似三角形和位似的性质)，两个定义，两类图形，五个定理.

三、全能突破

基础演练

1.已知a:b=2:3,那么下列等式中成立的是().

A.3a=2bB.2a=3bC.a+bb=

2.如图27-1-1所示,在△ABC中,DE‖BC,DF‖AC,，则下列比例式一定成立的是().

A.AEEC=DEBCB.AE

3.(1)如图27-1-2所示,P是Rt△ABC的斜边AB上异于A、B的一点,过P点作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有()条.

A.1B.2C.3D.4

(2)如图