上海市青浦区2024届高三下学期4月学业质量调研数学试卷（原卷版）.docx

2023学年青浦区第二学期高三年级学业质量调研

数学试卷

（时间120分钟，满分150分）2024.04

学生注意：

1．本试卷包括试题纸和答题纸两部分．

2．在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．

3．可使用符合规定的计算器答题．

一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.不等式的解集为____________．

2.已知向量，，则____________．

3.已知复数，则____________．

4.的二项展开式中的常数项为______.

5.设随机变量服从正态分布，若，则实数_____．

6.椭圆的离心率为，则____________．

7.已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为____________．

8.已知，，若，则满足条件的的取值范围是____________．

9.对于函数，其中，若关于的方程有两个不同的根，则实数的取值范围是____________．

10.从中任取个不同的数字，设“取到的个数字之和为偶数”为事件，“取到的个数字均为奇数”为事件，则_________．

11.如图，某酒杯上半部分形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的匀速往杯中注水，当水深为时，酒杯中水升高的瞬时变化率__________．

12.如图，在棱长为的正方体中，在棱上，且，以为底面作一个三棱柱，使点分别在平面上，则这个三棱柱的侧棱长为____________．

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.函数最小值是（）

A.4 B.5 C. D.

14.已知点是抛物线C：上一点到拋抛物线C的准线的距离为d，M是x轴上一点，则“点M的坐标为”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件，

15.设是首项为，公比为q的等比数列的前项和，且，则（）．

A B. C. D.

16.如图，已知直线与函数的图象相切于两点，则函数有（）．

A.2个极大值点，1个极小值点 B.3个极大值点，2个极小值点

C.2个极大值点，无极小值点 D.3个极大值点，无极小值点

三．解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.

17.对于函数，其中，．

（1）求函数的单调增区间；

（2）在锐角三角形中，若，，求的面积．

18.如图，三棱柱是所有棱长均为2的直三棱柱，分别为棱和棱的中点．

（1）求证：面面；

（2）求二面角的余弦值大小．

19.垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率．目前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾．某校为调查学生对垃圾分类的了解程度，随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分为A等级和B等级，得到如下列联表：

男生

女生

总计

A等级

40

20

60

B等级

20

20

40

总计

60

40

100

（1）根据表中的数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关（规定：显著性水平）？

附：，其中，．

（2）为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛．每局比赛由二人参加，主持人A和B轮流提问，先赢局者获得奖项并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人A提问甲赢的概率为，主持人B提问甲赢的概率为，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．现抽签决定第一局由主持人A提问．

（i）求比赛只进行3局就结束的概率；

（ii）设为结束比赛时甲赢的局数，求的分布和数学期望．

20.已知双曲线，，分别为其左、右焦点．

（1）求，的坐标和双曲线的渐近线方程；

（2）如图，是双曲线右支在第一象限内一点，圆是△内切圆，设圆与，，分别切于点，，，当圆的面积为时，求直线的斜率；

（3）是否存在过点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，且使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

21.若无穷数列满足：存在正整数，使得对一切正整数成立，则称是周期为的周期数列．

（1）若（其中正整数m为常数，），判断数列是否为周期数列，并说明理由；

（2）若，判断数列否为周期数列，并说明理由；

（3）设是无穷数列，已知．求证：“存在，使得是周期数列”的充要条件是“是周期数列”．