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1.2逻辑用语与充分必要条件(精讲)
充分条件、必要条件与充要条件的概念
充分、必要条件:A={x|p(x)},B={x|q(x)
集合关系
若p?q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
A?B
p是q的充分不必要条件
p?q且q?p
p是q的必要不充分条件
p?q且q?p
p是q的充要条件
p?q
A=B
p是q的既不充分也不必要条件
p?q且q?p
A?B且A?B
二..全称量词和存在量词
量词名称
常见量词
表示
符号
全称量词
“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”
?
存在量词
“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”
?
三.全称量词命题和存在量词命题
命题名称
定义
命题结构
命题简记
全称量词命题
含有全称量词的命题
对M中任意一个x,p(x)成立
?x∈M,p(x)
存在量词命题
含有存在量词的命题
存在M中的元素x,p(x)成立
?x∈M,p(x)
1.判断充分、必要条件的3种方法
(1)定义法:根据p?q,q?p进行判断,适用于定义、定理判断性问题.
(2)集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.
(3)数形结合法:充要条件的判定问题中,若给出的条件与结论之间有明显的几何意义,且可以作出满足条件的几何图形,则可作出其几何图形后利用数形结合思想求解.
2.根据充分、必要条件求解参数范围的方法
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.
3.充分、必要条件的探求方法
(1)若与范围有关,可先求使结论成立的充要条件,然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件.
(2)若与范围无关,则利用定义法从充分性和必要性两个方面推理探求.
(3)探求充要条件的关键在于转化的等价性,解题时要考虑条件包含的各种情况,保证条件的充分性和必要性.
4.全称量词与存在量词命题真假的判断
(1)要确定一个全称量词命题是真命题,需保证该命题对所有的元素都成立;若能举出一个反例说明命题不成立,则该全称量词命题是假命题;
(2)要确定一个存在量词命题是真命题,举出一个例子说明该命题成立即可;若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立,则该存在量词命题是假命题.
考法一充分、必要条件的判断
【例1-1】(2023·天津河北·统考一模)设,则“”是“”的(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【例1-2】(2023春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习)在中,“”是“”的(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【例1-3】(2023·广东佛山·统考二模)记数列的前项和为,则“”是“为等差数列”的(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【一隅三反】
1.(2023·重庆·统考二模)“”是“”的(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.(2023·天津·天津市宁河区芦台第一中学校联考模拟预测)设,则“”是“”的(???)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.(2023·山西太原·太原五中校考一模)是“的(????)
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4.(2023·北京延庆·统考一模)若,则“”是“复数是纯虚数”的(????)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
考法二充分、必要条件的探索
【例2-1】(2023·全国·高三专题练习)“不等式在R上恒成立”的必要不充分条件是(????)
A.m0 B.m C.m1 D.m
【例2-2】.(2023·全国·高三专题练习)(多选)函数在区间不单调的充分不必要条件是(????)
A.B.C.D.
【一隅三反】
1.(2023·云南)函数在上单调递增的一个充分不必要条件是(????)
A. B. C. D.
2.(2023·全国·高三专题练习)圆与直线有公共点的充要条件是(????)
A.或 B.
C. D.或
3.(2023·全国·高三专题练习)(多选)命题“”为真命题的一个充分不必要条件是(????)
A. B. C. D.
考法三充分、必要条件的求参
【例3-1】(2023·湖南邵阳·统考二模)已知集合,
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