湖北省2024届高中毕业生四月模拟考试数学试题（含答案解析）.docx

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湖北省2024届高中毕业生四月模拟考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设，，，则等于（????）

A． B．0 C． D．

2．已知集合，，则（???）

A． B． C． D．

3．下面四个数中，最大的是（???）

A． B． C． D．

4．数列的首项为1，前n项和为，若，（）则，（???）

A．9 B．1 C．8 D．45

5．复数（）在复平面上对应的点不可能位于（????）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．函数的图象大致为（???）

A． B． C． D．

7．能被3整除，且各位数字不重复的三位数的个数为（???）

A．228 B．210 C．240 D．238

8．抛物线上有四点，，，，直线，交于点，且，．过分别作的切线交于点Q，若，则（???）

A． B． C． D．

二、多选题

9．平行六面体中，各个表面的直角个数之和可能为（???）

A．0 B．4 C．8 D．16

10．已知函数有最小正零点，，若在上单调，则（???）

A． B． C． D．

11．如图，三棱台的底面为锐角三角形，点D，H，E分别为棱，，的中点，且，；侧面为垂直于底面的等腰梯形，若该三棱台的体积最大值为，则下列说法可能但不一定正确的是（???）

A．该三棱台的体积最小值为 B．

C． D．

三、填空题

12．写出函数的一条斜率为正的切线方程：．

13．两个连续随机变量X，Y满足，且，若，则．

14．双曲线的左右焦点分别为，，以实轴为直径作圆O，过圆O上一点E作圆O的切线交双曲线的渐近线于A，B两点（B在第一象限），若，与一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为．

四、解答题

15．数列中，，，且，

(1)求数列的通项公式；

(2)数列的前项和为，且满足，，求．

16．已知椭圆和的离心率相同，设的右顶点为，的左顶点为，，

(1)证明：；

(2)设直线与的另一个交点为P，直线与的另一个交点为Q，连，求的最大值．

参考公式：

17．空间中有一个平面和两条直线m，n，其中m，n与的交点分别为A，B，，设直线m与n之间的夹角为，

(1)如图1，若直线m，n交于点C，求点C到平面距离的最大值；

(2)如图2，若直线m，n互为异面直线，直线m上一点P和直线n上一点Q满足，且，

（i）证明：直线m，n与平面的夹角之和为定值；

（ii）设，求点P到平面距离的最大值关于d的函数．

18．已知函数，，

(1)若对定义域内任意非零实数，，均有，求a；

(2)记，证明：．

19．欧拉函数在密码学中有重要的应用．设n为正整数，集合，欧拉函数的值等于集合中与n互质的正整数的个数；记表示x除以y的余数（x和y均为正整数），

(1)求和；

(2)现有三个素数p，q，，，存在正整数d满足；已知对素数a和，均有，证明：若，则；

(3)设n为两个未知素数的乘积，，为另两个更大的已知素数，且；又，，，试用，和n求出x的值．

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参考答案：

1．C

【分析】先求出的坐标，然后根据向量数量积坐标运算公式求解即可

【详解】因为，，

所以，

因为，

所以，

故选：C

2．B

【分析】由绝对值三角不等式求得，然后由解析式有意义求得，再由交集运算可得.

【详解】由，

当且仅当，即时，等号成立，得；

由得，即.

所以.

故选：B

3．D

【分析】先根据对数函数单调性求得，然后可判断最大项.

【详解】因为，即，

所以，，故B，C错误；

又，所以.

故选：D

4．B

【分析】根据题意，令，得到，等差数列是等差数列，求得，结合，即可求解.

【详解】由题意知，数列的首项为1，且，

令，可得，即，

所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，

则.

故选：B.

5．A

【分析】先利用复数代数形式乘除运算法则求出复数，由此能求出结果.

【详解】，

当时，，则复数对应的点在第四象限；

当时，，则复数对应的点在第三象限；

当时，，则复数对应的点在第二象限；

当或时，或，则复数对应的点在坐标轴上，不属于任何象限.

故复数对应的点不可能位于第一象限.

故选：A.

【点睛】本题考查复数在复平面上对应的点所在象限的判断，考查复数代数形式乘除运算法则及复数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．

6．A

【分析】根据时的单调性可排除BC；