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第二十二章二次函数二次函数
学习目标学习重难点理解掌握二次函数的概念和一般形式.会列二次函数表达式解决实际问题.难点重点(1)理解掌握二次函数的概念和一般形式.(2)会利用二次函数的概念解决问题.(3)会列二次函数表达式解决实际问题.
回顾复习我们已经学习了哪些函数?它们的解析式是什么?一次函数y=kx+b(k≠0)正比例函数y=kx(k≠0)反比例函数一条直线双曲线
c导入新知正方体的六个面是全等的正方形(如图),设正方体的棱长为x,表面积为y.显然,对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为.知识点二次函数的定义①①
n个球队参加比赛,每两个队之间进行一场比赛,比赛的场次数m与球队数n有什么关系?问题1分析:每个球队n要与其他个球队各比赛一场,甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛时同一场比赛,所以比赛的场次数.答:此式表示了比赛的场次数m与球队数n之间的关系,对于n的每一个值,m都有唯一的一个对应值,即m是n的函数.n-1②
问题2某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系怎样表示?分析:这种产品的原产量是20件,一年后的产量是件,再经过一年后的产量是件,即两年后的产量y=________.答:y=20x2+40x+20.此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系,对于x的每一个值,y都有唯一的一个对应值,即y是x的函数.20(1+x)20(1+x)220(1+x)2③
函数①②③有什么共同点?y=6x2?y=20x2+40x+20函数都是用自变量的二次式表示的.
定义温馨提示形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量,a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.(1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式;(2)a,b,c为常数,且a≠0;(3)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.
典型例题例1下列函数中哪些是二次函数?为什么?(x是自变量)①y=ax2+bx+c②④⑤y=x2+x3+25⑥y=(x+3)2-x2不一定是,缺少a≠0的条件.不是,右边是分式.不是,x的最高次数是3.y=6x+9
归纳判断一个函数是不是二次函数,先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外,二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外,还有其特殊形式如y=ax2,y=ax2+bx,y=ax2+c等.
例2(1)m取什么值时,此函数是正比例函数?(2)m取什么值时,此函数是二次函数?解:由(1)可知,解得由(2)可知,解得m=3.
归纳本题考查正比例函数和二次函数的概念,这类题紧扣概念的特征进行解题.尤其第2问要保证二次项系数m+3≠0.
巩固练习?解:
随堂演练2.函数y=(m-n)x2+mx+n是二次函数的条件是()A.m,n是常数,且m≠0B.m,n是常数,且n≠0C.m,n是常数,且m≠nD.m,n为任何实数C1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式,二次项为_____,一次项系数为______,常数项为.3.下列函数是二次函数的是()A.y=2x+1B.C.y=3x2+1D.C-3x2-1612
随堂演练4.矩形的周长为16cm,它的一边长为x(cm),面积为y(cm2).求(1)y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围;(2)当x=3时矩形的面积.解:(1)y=(8-x)x=-x2+8x(0<x<8);(
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