《计算力学》课件.pptVIP

计算力学课堂教学课件;2;一、泛函的定义;变分法是在一组容许函数中选定一个函数，使给定的泛函取驻值(研究求泛函极大（小）值的方法)。;实例1在xy平面内有A、B两定点，连接A、B有很多条曲线y=y(x),x是自变量，y是独立函数，曲线的长度L是随不同的曲线y而定的。L是一个泛函：;实例2在xy平面内，假设在AB两定点连成的曲线上有一质点。此质点在重力的作用下，无摩擦地从A滑到B需要一定的时间T。T是随不同的曲线y(x)而改变的。所以T是一个泛函。;实例3假设有一不计自重的弹性杆OB,长为L，截面面积A，弹性模量E。O端固定，x轴沿杆的轴线向下，B端受拉力P作用。;故杆内总应变能为;泛函的定义;对变分学发展有重大影响的三个历史命题：;2、短程线问题。求曲面?(x,y,z)=0上两定点A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)间长度最短的曲线。;3、等周问题。在长度一定的封闭曲线中，什么样的曲线所围面积最大？;所围面积;二、变分及其特性;1、泛函宗量的变分;;零阶接近度曲线;2、泛函的连续;3、泛函的变分;如果函数y=f(x)在给定点x处有导数f?(x)，则;所以函数的微分dy=f?(x)Δx既是函数增量Δy的线性部分，又是Δy的主要部分，即“线性主要部分”。;当函数y(x)固定时，;于是;（2）拉格朗日泛函变分定义;4、泛函的驻值;式中;使多元函数;（2）泛函的驻值;4、变分的计算方法;4、设;三、欧拉方程;1、变分法的基本预备定理;2、欧拉方程的建立;而且?y(x)具有下列边界条件：;由于;所以（5）变为：;?注意：Euler方程式中的第二项为全导数。;其中?y(x)是满足变分法预备定理中的3个一般条件的任意选定的函数。并且;记为;3、利用欧拉方程求解泛函极值问题;解得;（2）实例2（最速降线问题）中，泛函形式为：;现证明：;所以;将被积函数;Euler方程的解为;这组方程是半径为D/2的轮沿着x轴滚动时，轮周上A点轨迹的方程。

这是一组圆滚线方程，常数D由圆滚线通过B点确定，它能使其上质点滑下的时间最短。

也称其为最速降线（旋轮线或摆线）。;变分法的几个步骤：;（3）实例3（受拉杆件问题）中，泛函形式为：;x=0时，u=o;x=L时，P=p。;由于在(0,L)开区间内δu的任意性，得;利用泛函形式求解的优点：;四、其他形式泛函的欧拉方程;1、具有高阶导数泛函的Euler方程;例：假设有一不计自重的悬臂梁,长为L，截面面积A，弹性模量E。受分布荷载q(x)，并在自由端处受集中力P和集中力偶M作用,处于平衡状态。求梁内各点随x变化的位移v(x)。;所以;得到：;对第二项进行分部积分：;由位移边界条件，即有;要使总位能取驻值，须使δΠ=0成立，则必须要有：;2、含有多个待定函数的泛函;3、含有多个自变量函数的泛函;例：泛函;2）、多变量问题;1．3变分原理和里兹方法;1．3．1变分原理的定义和意义;1.变分原理与变分法;说明：;（3）弹性力学中基本变分原理：;2.变分法的求解过程;（1.3.4）;其中：;特殊情形：;1.函数的定义和泛函的定义;若对于自变量x域中的每一个值，y有一值与之对应，或数y对应于数x关系成立。

则称变量y是变量x的函数，即：y=y(x);76;3.函数的微分和泛函的变分;函数的微分2:设ε为一小参数，并将y(x+ε?x)对ε求导数，即得：;泛函的变分1:与函数的微分类似，泛函变分的定义也有两个。;泛函的变分2:;4.函数极大极小问题;泛函Π[y(x)]也有相类似的定义。;说明：泛函的极大(或极小)值，主要是说;84;强变分和强极大;弱变分和弱极大;5.变分法的基本预备定理;从泛函变分极值问题上可以看到变分法的几个主要步骤：;由于δai的任意性，所以;1．3．2线性、自伴随微分方程变分原理的建立;1.线性、自伴随微分算子;线性、自伴随微分方程的定义：;对上式分部积分，直至u的导数消失，;2.泛函的构造;因为算子是线性、自伴随的，所以：;微分方程的等效积分形式：;整理得到：;结论：;变分原理：;自然变分原理;3.泛函?(u)的极值性;等价于泛函?（u）取驻值：;例：二维热传导问题：;（1）;同理，得：;对照变分原理：;对（1）式求二阶变分：;1．3．3里兹法（RitZ）方法;Ritz（里兹）法

——基于变分原理的近似解法;3）求解线性代数方程组;边界条件;代入式（4），有;（2）选取试探函数，建立里兹法方程求解;由??（a）=0，得;（2）;代入式（5）：;所求解为：;例：一端固定，另一端自由的梁，其跨度为l，抗弯刚度EI为常数，分别承受均匀分布载荷q、集中力P的作用，如图所示。