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2022-2023学年四川省自贡一中、二中高三第二学期学习能力诊断数学试题试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线y2=ax(a>0)的准线与双曲线C:x28
A．8 B．6 C．4 D．2
2．已知平面向量，满足，，且，则（）
A．3 B． C． D．5
3．在中，角的对边分别为，若，则的形状为（）
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等腰或直角三角形 D．钝角三角形
4．已知抛物线y2=4x的焦点为F，抛物线上任意一点P，且PQ⊥y轴交y轴于点Q，则的最小值为（）
A． B． C．l D．1
5．欧拉公式为,(虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．设复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则的一个充分条件是（）
A．且 B．且 C．且 D．且
8．已知双曲线：的左、右两个焦点分别为，，若存在点满足，则该双曲线的离心率为（）
A．2 B． C． D．5
9．“是函数在区间内单调递增”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．己知函数的图象与直线恰有四个公共点，其中，则（）
A． B．0 C．1 D．
11．已知抛物线,过抛物线上两点分别作抛物线的两条切线为两切线的交点为坐标原点若,则直线与的斜率之积为（）
A． B． C． D．
12．已知，，是平面内三个单位向量，若，则的最小值（）
A． B． C． D．5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线在点（1，1）处的切线与轴及直线=所围成的三角形面积为，则实数=____。
14．若存在实数使得不等式在某区间上恒成立，则称与为该区间上的一对“分离函数”，下列各组函数中是对应区间上的“分离函数”的有___________.（填上所有正确答案的序号）
①，，；
②，，；
③，，；
④，，.
15．记为数列的前项和.若，则______.
16．已知复数，且满足（其中为虚数单位），则____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知集合，，，将的所有子集任意排列，得到一个有序集合组，其中.记集合中元素的个数为，，，规定空集中元素的个数为.
当时，求的值；
利用数学归纳法证明：不论为何值，总存在有序集合组，满足任意，，都有.
18．（12分）已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数在上的值域；
（Ⅱ）若函数在上单调递减，求实数的取值范围.
19．（12分）已知函数f(x)=x
（1）讨论fx
（2）当x≥-1时，fx+a
20．（12分）中的内角，，的对边分别是，，，若，.
（1）求；
（2）若，点为边上一点，且，求的面积.
21．（12分）设函数（）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若关于x的方程有唯一的实数解，求a的取值范围.
22．（10分）若,且
（1）求的最小值；
（2）是否存在，使得？并说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．
【详解】
抛物线y2=ax(a>0)的准线为x=-a4，双曲线C:x28-y24
【点睛】
本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．
2、B
【解析】
先求出，再利用求出，再求.
【详解】
解：
由，所以
，
，，
故选：B
【点睛】
考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题.
3、C
【解析】
利用正弦定理将边化角，再由，化简可得，最后分类讨论可得；
【详解】
解：因为
所以
所以
所以
所以
所以
当时，为直角三角形；
当时即，为等腰三角形；
的形状是等腰三角形或直角三角形
故选：．
【点睛】
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