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高中物理-电磁感应中的“双杆模型”

“双杆”模型分为两类：一类是“一动一静”，甲杆静止不动，乙杆运动，其实质是单杆问题，不过要注意问题包含着一个条件：甲杆静止、受力平衡．另一种情况是两杆都在运动，对于这种情况，要注意两杆切割磁感线产生的感应电动势是相加还是相减．

一、平行导轨：不受其他外力作用

光滑平行导轨

光滑不等距导轨

示意图

质量m1＝m2

电阻r1＝r2

长度L1＝L2

质量m1＝m2

电阻r1＝r2

长度L1＝2L2

规律

分析

杆MN做变减速运动，杆PQ做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，以相等的速度匀速运动

稳定时，两杆的加速度均为零，两杆的速度之比为1∶2

(2015·高考四川卷)如图所示，金属导轨MNC和PQD，MN与PQ平行且间距为L，所在平面与水平面夹角为α，N、Q连线与MN垂直，M、P间接有阻值为R的电阻；光滑直导轨NC和QD在同一水平面内，与NQ的夹角都为锐角θ.均匀金属棒ab和ef质量均为m，长均为L，ab棒初始位置在水平导轨上与NQ重合；ef棒垂直放在倾斜导轨上，与导轨间的动摩擦因数为μ(μ较小)，由导轨上的小立柱1和2阻挡而静止．空间有方向竖直的匀强磁场(图中未画出)．两金属棒与导轨保持良好接触，不计所有导轨和ab棒的电阻，ef棒的阻值为R，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，忽略感应电流产生的磁场，重力加速度为g.

(1)若磁感应强度大小为B，给ab棒一个垂直于NQ、水平向右的速度v1，在水平导轨上沿运动方向滑行一段距离后停止，ef棒始终静止，求此过程ef棒上产生的热量；

(2)在(1)问过程中，ab棒滑行距离为d，求通过ab棒某横截面的电量；

(3)若ab棒以垂直于NQ的速度v2在水平导轨上向右匀速运动，并在NQ位置时取走小立柱1和2，且运动过程中ef棒始终静止．求此状态下最强磁场的磁感应强度及此磁场下ab棒运动的最大距离．

[解析](1)设ab棒的初动能为Ek，ef棒和电阻R在此过程产生的热量分别为W和W1，有

W＋W1＝Ek①

且W＝W1②

由题意有Ek＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)③

得W＝eq\f(1,4)mveq\o\al(2,1).④

(2)设在题设过程中，ab棒滑行时间为Δt，扫过的导轨间的面积为ΔS，通过ΔS的磁通量为ΔΦ，ab棒产生的电动势平均值为E，ab棒中的电流为I，通过ab棒某横截面的电荷量为q，则

甲

E＝eq\f(ΔΦ,Δt)⑤

且ΔΦ＝BΔS⑥

I＝eq\f(q,Δt)⑦

又有I＝eq\f(2E,R)⑧

由图甲所示

ΔS＝d(L－dcotθ)⑨

联立⑤～⑨，解得q＝eq\f(2Bd(L－dcotθ),R).⑩

(3)ab棒滑行距离为x时，ab棒在导轨间的棒长Lx为

Lx＝L－2xcotθ?

此时，ab棒产生的电动势Ex为Ex＝Bv2Lx?

流过ef棒的电流Ix为Ix＝eq\f(Ex,R)?

ef棒所受安培力Fx为Fx＝BIxL?

联立?～?，解得Fx＝eq\f(B2v2L,R)(L－2xcotθ)?

由?式可得，Fx在x＝0和B为最大值Bm时有最大值F1.

由题知，ab棒所受安培力方向必水平向左，ef棒所受安培力方向必水平向右，使F1为最大值的受力分析如图乙所示，图中fm为最大静摩擦力，有

F1cosα＝mgsinα＋μ(mgcosα＋F1sinα)?

联立??，得

Bm＝eq\f(1,L)eq\r(\f(mg(sinα＋μcosα)R,(cosα－μsinα)v2))?

?式就是题目所求最强磁场的磁感应强度大小，该磁场方向可竖直向上，也可竖直向下．

乙丙

由?式可知，B为Bm时，Fx随x增大而减小，x为最大xm时，Fx为最小值F2，如图丙可知

F2cosα＋μ(mgcosα＋F2sinα)＝mgsinα?

联立???，得

xm＝eq\f(μLtanθ,(1＋μ2)sinαcosα＋μ).

[答案]见解析

二、平行导轨：一杆受恒定水平外力作用

光滑平行导轨

不光滑平行导轨

示意图

质量m1＝m2

电阻r1＝r2

长度L1＝L2

摩擦力Ff1＝Ff2＝Ff

质量m1＝m2

电阻r1＝r2

长度L1＝L2

规律

分析

开始时，两杆做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀变速运动

开始时，若FfF≤2Ff，则PQ杆先变加速后匀速，MN杆一直静止；若F2Ff，PQ杆先变加速，MN后做变加速最后两杆做匀速运动

如图所示，两条平行的金属导轨相距L＝1m，水平部分处在竖直向下的匀强磁场B1中，倾斜部分与水平方向的夹角为37°，处于垂直于斜面的匀强磁场B1中，B1＝B2＝0.5T．金属棒MN和PQ的质量均为m＝0.2kg，电阻RMN＝0.5Ω、RP