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随机变量及其分布（包含详解例题）

本博⽂源于北京理⼯⼤学《概率论数理统计》包含内容为随机变量及其分布的⼀些知识，下⾯是其⽬录。

随机变量

随机变量及离散型随机变量的定义

因为我们需要根据问题的性质，通过引⼊⼀个变量，来描述随机试验的样本点。即引⼊样本空间到实数域空间到实数域上的映射。

随机变量的定义

随机变量⼀般实函数的差别

X随试验结果的不同⽽取不同的值，因⽽在试验之前只知道它可能取值的范围，⽽不能预先肯定它将取哪个值；

定义域不同

由于试验结果的出现具有⼀定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有⼀定的概率。

离散型随机变量

离散型随机变量的定义

若随机变量X所有可能的取值为有限个或可列⽆穷多个，则称X为离散型随机变量。否则称为⾮离散型随机变量。

离散型随机变量的分布

分布律的意义

所谓的分布不过是全部概率1是如何分布在(分配到)随机变量X各个可能值xi上的。有了离散型随机变量X的分布律后，可以计算X取某值或

落⼊某实数集合内的概率。它完全描述了X取值的概率规律。

离散型随机变量分布的性质

第(2)个的归⼀性利⽤的⾮常多，值得记忆。

离散型随机变量例题

拿到这道题⽬，第（1）⼩问直接画表格就⾏了，先确定X的取值，再对X取值概率求⼀下，写进表格⾥，再对概率相加是否为1，判断⾃⼰

写的是不是对的。第(2)⼩问就是判断X是否落在区间范围内，⽐如1=X=3只有1，2落在这个范围内，就把两者的概率相加就得出最后的

答案。完整的解题过程是这样⼦的。

离散型随机变量的做题步骤

概括起来就是画表格，满⾜区间的值相加即可。

重要的离散型随机变量

单点分布

若随机变量X只取⼀个常数值C，即P(X=C)=1,则称X服从单点分布，也称为退化分布

0-1分布

若随机变量X只可能取0和1两个值，其分布律为

任何⼀个只有两种可能结果的随机现象，都可以⽤⼀个服从两点分布的随机变量来描述。两两点点分分布布⼜⼜称称为为伯伯努努利利分分布布

⼆项分布

⼆项分布是两点分布做n次的情况，下⾯先看⼀下伯努利试验。

伯努利试验

n重伯努利试验

将伯努利做个n次就成为n重伯努利试验，伯努利试验学术定义如下：

伯努利试验—打靶问题

拿到问题，发现独⽴⼆字，就可能是n重伯努利试验。以四发为次数，恰好命中三发为样本空间，开始进⾏假设。

因为每个事件都是独⽴的，所以我们可以直接做乘积

伯努利试验–修机器

先分析⼀个⼈负责20台的情况，这种情况只需要20台机器⾄少⼀台出故障，这个⼯⼈就忙不过来考虑到就⾏了。

然后考虑3个⼈维修80台，只需要考虑三⼈四台出故障的概率，四台不好求，那就它的逆事件三台的情况

伯努利试验定理

⼆项分布两点分布的图像差别

⼏何分布

⼏何分布的概率背景

要想做某实验，第⼀次做成功后就收⼿的概率。

⼏何分布的定义

⼏何分布的⽆记忆性

这也是它的性质，如果前⼏次都没成功，后⾯⼜不成功，那么接下来是否成功不取决于前⾯的失败。

超⼏何分布

超⼏何分布的概率背景

就是摸球的不放回抽样的理论定义。

超⼏何分布定义

泊松分布

泊松分布的概率背景

为解决电话在⼀段时间的呼叫次数、公共汽车固定时间内来到的乘客数。

泊松分布的定义

做题中我们⽤的泊松分布都是为了其他做转化的。

泊松分布例题–呼叫电话

恰有四次那就是λ=3，k=4,带进去算就⾏了。第(2)问就是λ=3，k=0到5计算泊松分布的值就⾏了。

超⼏何分布、⼆项分布、泊松分布的转化

⾸先还是需要从⼀道题⽬来讲起

恰为两件那就⽤超⼏何分布X=2的情景

可是做计算过于⿇烦，那就⼜下⾯的定理将其转换为⼆项分布

可是n-m太过于复杂那可如何是好？有下⾯的定理将⼆项分布转换为泊松分布。

两者的近似效果如图，会发现近似效果很棒。

例题(分布转化)–射击问题

⾄少命中⼀次，那就是分为命中和不命中两种类型，那就会发现这是n重伯努利试验。然后⾄少⼀次不好求，那就算⼀次不命中的概率然后

⽤1减去就⾏了

λ=np，n=5000,p=0.001,所以就是λ=5，k=0，算出泊松分布的概率值

会发现⼩概率事件虽不容易发⽣，但重复次数多了，就成⼤概率事件了。

随机变量的分布函数

随机变量的分布函数定义

分布函数的3点说明

1.分布函数是⼀个普通的函数，正是通过它，我们可以⽤数学分析的⼯具来研究随机变量；

2.如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F（x）的值就表⽰X落在区间(-∞,x]的概率；

3.

例题–抛硬币问题