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中考数学复习专题训练:《四边形综合》
1.问题发现:
(1)如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=b,BC=a,点E是AC的中点,点F在BC边上,将△ECF沿着EF折叠后得到△EPF,连接BP并使得BP最小,请画出符合题意的点P;
问题探究:
(2)如图②,已知在△ABC和△EBD中,∠ACB=∠BDE=90°,AC=BC=4,BD=DE=2,连接CE,点F是CE的中点,连接AF,求AF的最大值.
问题解决:
(3)西安大明宫遗址公园是世界文化遗产,全国重点文物保护单位,为了丰富同学们的课外学习生活,培养同学们的探究实践能力,周末光明中学的张老师在家委会的协助下,带领全班同学去大明宫开展研学活动.在公园开设的一处沙地考古模拟场地上,同学们参加了一次模拟考古游戏.张老师为同学们现场设计了一个四边形ABCD的活动区域,如图③所示,其中BD为一条工作人员通道,同学们的入口设在点A处,AD⊥BD,AD∥BC,∠DCB=60°,AB=2米.在上述条件下,小明想把宝物藏在距入口A尽可能远的C处让小鹏去找,请问小明的想法是否可以实现?如果可以,请求出AC的最大值及此时△BCD区域的面积,如果不能,请说明理由.
2.已知:如图,在菱形ABCD中,AC=2,∠B=60°.点E为边BC上的一个动点(与点B、C不重合),∠EAF=60°,AF与边CD相交于点F,联结EF交对角线AC于点G.设CE=x,EG=y.
(1)求证:△AEF是等边三角形;
(2)求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;
(3)点O是线段AC的中点,联结EO,当EG=EO时,求x的值.
3.已知在正方形ABCD和正方形CEFG中,直线BG,DE交于点H.
(1)如图1,当B,C,E共线时,求证:BH⊥DE.
(2)如图2,把正方形CEFG绕C点顺时针旋转α度(0<α<90),M,N分别为BG,DE的中点,探究HM,HN,CM之间的数量关系,并证明你的结论.
(3)如图3,∠PDG=45°,DH⊥PG于H,PH=2,HG=4.直接写出DH的长.
4.[问题引入](1)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD两边上的点,且AE⊥BF,垂足为点P.求证:AE=BF;
[类比探究](2)如图2,把(1)中正方形ABCD改为矩形ABCD,且AD=2AB,其余条件不变,请你推断AE、BF满足怎样的数量关系,并说明你的理由;
[实践应用](3)如图3,Rt△ABC中,∠BAC=30°,把△ABC沿斜边AC对折得到Rt△ADC,E、F分别为CD、AD边上的点,连接AE、BF,恰好使得AE⊥BF,垂足为点P.请求出的值.
5.如图,已知正方形ABCD中,BC=4,AC、BD相交于点O,过点A作射线AM⊥AC,点E是射线AM上一点,联结OE交AB边于点F.以OE为一边,作正方形OEGH,且点A在正方形OEGH的内部,联结DH.
(1)求证:△HDO≌△EAO;
(2)设BF=x,正方形OEGH的边长为y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;
(3)联结AG,当△AEG是等腰三角形时,求BF的长.
6.阅读材料:等腰三角形具有性质“等边对等角”.事实上,不等边三角形也具有类似性质“大边对大角”,如图1,在△ABC中,如果AB>AC,那么∠ACB>∠ABC.证明如下:将AB沿△ABC的角平分线AD翻折(如图2),因为AB>AC,所以点B落在AC的延长线上的点B′处.于是,由∠ACB>∠B′,∠ABC=∠B′,可得∠ACB>∠ABC.
(1)灵活运用:从上面的证法可以看出,折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法.由此小明想到可用类似方法证明“大角对大边”,如图3,在△ABC中,如果∠ACB>∠ABC,那么AB>AC.小明的思路是:沿BC的垂直平分线翻折……请你帮助小明完成后面的证明过程.
(2)拓展延伸:请运用上述方法或结论解决如下问题:
如图4,已知M为正方形ABCD的边CD上一点(不含端点),连接AM并延长,交BC的延长线于点N.求证:AM+AN>2BD.
7.探究:如图1和图2,四边形ABCD中,已知AB=AD,∠BAD=90°,点E、F分别在BC、CD上,∠EAF=45°.
(1)①如图1,若∠B、∠ADC都是直角,把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,使AB与AD重合,直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系;
②如图2,若∠B、∠D都不是直角,但满足∠B+∠D=180°,线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立,若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.
(2)拓展:如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2.点D、E均在边BC边上,且∠DAE=45°,若BD=1,求DE的长.
8.如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3
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