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数据拟合方法

ApproximationTheory引例问题的提出线性最小二乘问题的存在与唯一拟合模型的正规方程非线性曲线拟合拟合与插值比较1精选ppt

引例某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直接关系，下表是实际测定的24个纤维样品的强度与拉伸倍数的记录。2精选ppt

提示：将拉伸倍数作为x,强度作为y,在座标纸上标出各点，可以发现什么?3精选ppt

从上图中可以看出强度与拉伸倍数大致成线形关系，可用一条直线来表示两者之间的关系。解：设y*=a+bxi，令δ=yi-y*i=yi-a-bxi，根据最小二乘原理，即使误差的平方和达到最小，也就是令

为最小，即求使有最小值的a和b的值。4精选ppt

计算出它的正规方程得解得：a=0.15,b=0.859

直线方程为：y*=0.15+0.859x5精选ppt

定义1：向量范数映射：满足：①非负性②齐次性③三角不等式称该映射为向量的一种范数预备知识我们定义两点的距离为：6精选ppt

常见的范数有：定义2：函数f，g的关于离散点列的离散内积为：7精选ppt

定义3：函数f的离散范数为提示：该种内积，范数的定义与向量的2－范数一致我们还可以定义函数的离散范数为：8精选ppt

仍然是已知x1…xm;y1…ym,求一个简单易算的近似函数P(x)?f(x)。但是①m很大；②yi本身是测量值，不准确，即yi?f(xi)这时没必要取P(xi)=yi,而要使P(xi)?yi总体上尽可能小。常见做法：?使最小/*minimaxproblem*/太复杂??使最小不可导，求解困难??使最小/*Least-Squaresmethod*/问题的提出9精选ppt

曲线拟合的最小二乘法最小二乘原理当由实验提供了大量数据时,不能要求拟合函数在数据点处的偏差,即(i=1,2,…,m)严格为零,但为了使近似曲线尽量反映所给数据点的变化趋势,需对偏差有所要求.通常要求偏差平方和最小,此即称为最小二乘原理10精选ppt

?最小二乘法的求法11精选ppt

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?最小二乘法的几种特例13精选ppt

最小二乘拟合多项式/*L-Sapproximatingpolynomials*/确定多项式，对于一组数据(xi,yi)(i=1,2,…,m)使得达到极小，这里n<<m。naaa10?实际上是a0,a1,…,an的多元函数，即[]?=-+++=miinininyxaxaaaaa121010...),...,,(j在?的极值点应有kiminjijijxyxa??==-=10][2-=???===+njmikiimikjijxyxa0112记??====mikiikmikikxycxb11,14精选ppt

§1L-SApproximatingPolynomials定理L-S拟合多项式存在唯一(n<m)。证明：记法方程组为Ba=c.则有其中对任意，必有。若不然，则存在一个使得…即是n阶多项式的根则?B为正定阵，则非奇异，所以法方程组存在唯一解。15精选ppt

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例题17精选ppt

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曲线拟合问题最常用的解法——最小二乘法的基本思路第一步:先选定一组函数r1(x),r2(x),…rm(x),m<n,令f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+…+amrm(x)（1）其中a1,a2,…am为待定系数。第二步:确定a1,a2,…am的准则（最小二乘准则）：使n个点（xi,yi)与曲线y=f(x)的距离?i的平方和最小。记