2024年普通高等学校招生圆梦杯统一模拟考试(四)数学试题及答案（含答案与解析）.docxVIP

2024年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试（四）

数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试?指定位置上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

2.在复平面内，对应的点位于（）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.已知直线与交于，两点，若，则（）

A.1 B. C. D.

4.已知命题：“”，命题：“”，则命题是命题的（）

A.充分必要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.设，，，则（）

A. B. C. D.

6.已知函数的图象关于点对称，则（）

A.1 B.2 C. D.

7.已知椭圆与双曲线有公共焦点，记与在轴上方的两个交点为，，过的右焦点作轴的垂线交于，两点，若，则的离心率为（）

A. B. C. D.

8.知函数（，），如图：，，是曲线与坐标轴的三个交点，直线交曲线于点，若直线，的斜率分别为，3，则（）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.在某市高三年级等行的一次数学期末考试中，为了解考生的成绩情况，随机抽取了50名考生的成绩，作出的频率分布直方图如图，成绩排在前的学生将获得“优秀学生”称号，则（）

A.估计该市考生的成绩低于60分的比例为

B.估计该市考生成绩的众数为60

C.估计该市考生成绩的平均数为70.6

D.估计该市82分以上的考生将获得“优秀学生”称号

10.记函数的导函数为，已知，若数列，满足，则（）

A.为等差数列 B.为等比数列

C D.

11.已知抛物线，为坐标原点，过作轴的垂线交直线于点，点满足，过作轴的平行线交于点（在的右侧），若，则（）

A. B.

C. D.的面积为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.已知向量，夹角为，若，，则__________．

13.已知三棱锥的各顶点均在半径为2的球表面上，，，则三棱锥的内切球半径为__________；若，则三棱锥体积的最大值为__________．

14.已知数列满足，函数极值点为，若，则__________．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.如图，在三棱柱中，，，四边形是菱形．

（1）证明：；

（2）若，求二面角的正弦值．

16.已知数列的各项均为正数，，．

（1）若，证明：；

（2）若，证明：当取得最大值时，．

17.已知函数（，）．

（1）讨论的单调性；

（2）若存在极值点，证明：随着的增大而增大．

18.某游戏设计者设计了一款游戏：玩家在一局游戏内，每点击一次屏幕可以获得一张卡片，共有“”和“”两种卡片，每位玩家的初始分数为0，每获得一张“”加1分，每获得一张“”減1分．已知某位玩家在一局游戏内共点击屏幕次，设该玩家获得“”的次数为，最终分数为．

（1）若玩家每次点击屏幕时，获得“”和“”的概率均为，求的分布列与数学期望，并直接写出的值；

（2）若该游戏系统通过一个计数器来控制玩家获得“”和“”的概率．计数器会记录玩家已经点击屏幕的次数（初始值为0），若为偶数，则玩家下一次点击屏幕时，获得“”和“”的概率均为，若为奇数，则玩家下一次点击屏幕时，获得“”的概率为，获得“”的概率为．求．

附：若随机变量和的取值是相互独立的，则．

19已知双曲线与曲线有4个交点（按逆时针排列）

（1）当时，判断四边形形状；

（2）设为坐标原点，证明：为定值；

（3）求四边形面积的最大值．

附：若方程有4个实根，，，，则，．

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据一元二次不等式解法和指数函数图象性质求出集合，即可求得结果.

【详解】解不等式可得，

由指数函数的值域可得，

所以，即为.

故选：D

2.在复平面内，对应的点位于（