浙江省杭州市西湖高级中学2023-2024学年高一下学期4月期中测试数学试题（含答案解析）.docx

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浙江省杭州市西湖高级中学2023-2024学年高一下学期4月期中测试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（????）

A． B． C． D．

2．若为虚数单位，复数，则（????）

A． B． C． D．

3．已知，，则（????）

A． B． C． D．

4．如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若==2，那么原三角形的周长是（????）

A． B．

C． D．

5．已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图为圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为（????）

A． B． C． D．

6．已知非零向量满足，且，则的夹角为（????）

A． B． C． D．

7．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为（????）

A． B．

C． D．

8．已知的外接圆圆心为O，且则向量在向量上的投影向量为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（????）

A．若，则或

B．若点的坐标为，则对应的点在第三象限

C．若，则的模为

D．若，则点的集合所构成的图形的面积为

10．已知函数，其部分图象如图所示，则下列关于的结论正确的是（）

A．

B．在区间上单调递减

C．的图象关于直线对称

D．的图象向右平移个单位长度可以得到函数图象

11．如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（）

A．直三棱柱的侧面积是

B．直三棱柱的外接球表面积是

C．三棱锥的体积与点的位置无关

D．的最小值为

三、填空题

12．已知函数，则．

13．已知为的边上一点，，，，则．

??

14．已知是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使的，则的值为．

四、解答题

15．已知是虚数单位，当实数满足什么条件时，复数分别满足下列条件？

(1)为实数；

(2)为虚数；

(3)为纯虚数；

16．如图，在菱形中，.

(1)若，求的值；

(2)若，求.

17．已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点；

（1）求该三棱柱的体积与表面积；

（2）求三棱锥的内切球半径．

18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若；

(1)求B；

(2)若，试判断的形状.

(3)若，求的面积的最大值．

19．对于函数，，，如果存在实数a，b，使得，那么称函数为与的生成函数．

(1)已知，，，是否存在实数a，b，使得为与的生成函数？若不存在，试说明理由；

(2)当，时，是否存在奇函数，偶函数，使得为与的生成函数？若存在，请求出与的解析式，若不存在，请说明理由；

(3)设函数，，，，生成函数，若函数有唯一的零点，求实数的取值范围．

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参考答案：

1．B

【分析】根据题意，由交集的运算，即可得到结果.

【详解】因为，

则.

故选：B

2．D

【分析】首先化简复数，再求共轭复数.

【详解】，则.

故选：D

3．A

【分析】利用平面向量的坐标运算可求得向量的坐标.

【详解】因为，，则.

故选：A.

4．D

【分析】根据直观图的作图法则，还原三角形，即可求解.

【详解】因为，由直观图可知，，

所以还原平面图形中，，，在中，,

则三角形的周长为.

故选：D

5．A

【分析】根据圆锥的几何量和展开图几何量的关系，以及扇形的弧长公式，即可求解.

【详解】设圆锥的底面半径为，则圆锥的底面周长为，

所以圆心角为，则.

故选：A

6．C

【分析】利用平面向量的数量积和模长求夹角即可.

【详解】由已知可得，即，

又因为，所以，

所以夹角为.

故选：C

7．A

【分析】根据题意，由条件可得，再由函数的奇偶性可得时的解析式，然后分情况解出不等式即可.

【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，

所以，则，

则，即，

即当时，，

设，则，则，

则当时，由可得，解得，

当时，由可得，解得，

所以不等式得解集为.

故选：A

8．C

【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可.

【详解】因为，

所以外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径，如图，

又，所以为等边三角形，

则，故，

所以向量在向量上的投影向量为：．

故选：C．

9．BD

【分析】由复数