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人大微积分课件5-5广义积分
制作人：
时间：2024年X月
目录
第1章简介
第2章线性变换与积分
第3章Gamma函数与贝塞尔函数
第4章傅里叶级数与傅里叶变换
第5章拉普拉斯变换与Z变换
01
第1章简介
微积分与广义积分的关系
微积分是研究不定积分和定积分的学科，广义积分是不定积分和定积分的推广。微积分解决的问题多数情况下是通过定积分求解，但部分情况下定积分并不能解决问题，此时就需要用到广义积分。
广义积分的概念与定义
是无界函数的积分
广义积分
是对无界函数作积分的推广
广义积分的定义
需要限制积分区间和函数的性质
广义积分的计算
可以用广义积分的形式表示
概率密度函数
01
03
可以用广义积分的形式表示
方差
02
可以用广义积分的形式表示
期望值
收敛性判别法
可以通过比较函数的大小来判断广义积分的收敛性。
如比较判断法、Cauchy判别法、Dirichlet判别法等。
分部积分法
可以将广义积分化为两个定积分的和。
常用于求证函数的收敛性和计算一些特殊的广义积分。
换元法
将广义积分的自变量写成另一个函数的形式，从而化为求另一个函数的定积分。
通常用于计算具有一定对称性的广义积分。
广义积分的计算方法
利用函数的连续性、可积性和非负性计算广义积分
如果函数在积分区间上具有连续性、可积性和非负性，则可以用定积分的方法计算广义积分。
广义积分收敛的概念
广义积分收敛的概念是指当积分区间为无穷大时，积分的值仍然有限。在广义积分收敛的情况下，我们可以通过定积分的方法求解广义积分。
广义积分收敛的充分条件
广义积分收敛的充分条件是函数在积分区间上的绝对值函数的积分是有限的。也就是说，如果绝对值函数的积分是有限的，那么原来的广义积分就是收敛的。
广义积分发散的充要条件
如果积分的函数在积分区间上是正值，则广义积分发散。
充分条件
如果广义积分收敛，则其收敛必须快于积分区间的某个正常函数。
必要条件
函数的绝对值在积分区间上是可积的，表示广义积分的绝对值收敛，原来的广义积分也一定收敛。
绝对收敛
01
03
02
广义积分的绝对值不收敛，但是本身的积分是收敛的，表示广义积分是条件收敛。
条件收敛
02
第2章线性变换与积分
线性变换的概念与性质
线性变换是指在数学中，一个函数可以称为线性变换，当且仅当满足线性叠加性和齐次性条件。其中线性叠加性是指函数的输入可以分解成基底的线性组合，而函数的输出也可以用同一组基底的线性组合表示；齐次性是指函数的零元素的输出也是零元素。线性变换有许多常见的性质，如必须保持向量空间中的加法和标量乘法，必须满足对抗性和同态性等。
线性变换的基本性质
定义线性变换的重要条件
线性叠加性质
零向量的输出也是零向量
齐次性质
线性变换必须保持向量空间中的加法和标量乘法
保持加法、标量乘法
矩阵的对抗性是指如果某个矩阵的秩为r，则其伴随矩阵的秩也为r
对抗性
线性变换的矩阵表示
将向量空间的基底变换后得到的矩阵
变换矩阵
将变换矩阵用不同的基底表示的公式
基变换公式
线性变换的乘法可以解释为矩阵的乘法
矩阵乘法的解释
矩阵的秩与线性变换有密切的关系
矩阵的秩
线性变换下积分的变换
在线性变换下，积分的不变性是一个重要的性质。这个性质说明变换后的函数的积分与变换前的函数的积分是相等的。另外，坐标变换公式和定积分的线性性质也是线性变换下积分的重要概念。
矩阵变换下积分的不变性证明
矩阵变换下积分的不变性可以通过证明两个积分的等价性来完成。
假设有两个函数f(x)和g(x)，它们通过一个矩阵A的变换得到了f(Ax)和g(Ax)。如果证明f(Ax)和g(Ax)的积分相等，就可以得出矩阵变换下积分的不变性。
矩阵变换下定积分的求法
由于矩阵变换下积分的不变性，定积分的求法可以直接应用线性变换下定积分的求法。
具体而言，根据定积分的线性性质和矩阵变换下积分的不变性，可以将矩阵变换下的定积分转化为线性变换下的定积分，然后再按照线性变换下定积分的求法计算即可。
矩阵的特征值和特征向量
矩阵的特征值和特征向量是矩阵变换下的重要概念。特征值是指矩阵变换下的一个标量，特征向量是指与特征值相关联的向量。
矩阵变换下积分的不变性
矩阵变换的定义
矩阵变换是指在向量空间中，通过乘以一个矩阵来实现的线性变换。
定积分的上下限随变量的线性变换而变化
积分变量线性变换的概念
01
03
与线性变换下积分的不变性相类似，积分变量的线性变换下积分的不变性也是成立的
积分变量线性变换下积分的不变性
02
以一个简单的多项式为例，说明如何求积分变量的线性变换
积分变量线性变换的求法
总结
线性变换在微积分中具有重要的作用
线性变换
积分变量的线性变换对积分计算非常有用
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