6.1-线性规划问题.ppt

*华文行楷，字号88，颜色红，位于每一章的第一节的最前面。不使用动画*模块6MATLAB应用——线性规划问题*主要内容案例背景线性规划的标准型线性规划问题的MATLAB求解线性规划案例分析案例扩展——含参数线性规划*第一节案例背景*一、线性规划问题1.引例【例1】某厂生产三种产品，每种产品生产需经过三道工序：选料、提纯和调配。根据现有的生产条件，可确定各工序有效工时、单位产品耗用工时及利润如下表所列。试问应如何安排各种产品的周产量，才能获得最大利润？工序单位产品耗用工时（h/kg）每周有效工时（h）选料1.11.21.44600提纯0.50.60.62100调配0.70.80.62500利润（元/kg）121413?*线性规划（Linearprogramming,简称LP）：是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。英文缩写LP。它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。LP数学模型：（1）列出约束条件及目标函数（2）画出约束条件所表示的可行域（3）在可行域内求目标函数的最优解及最优值2.线性规划概念从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤：（1）根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；（2）由决策变量和所要达到目的之间的函数关系确定目标函数；（3）由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。所建立的数学模型具有以下特点：（1）每个模型都有若干个决策变量（x1，x2，x3……，xn），其中n为决策变量个数。决策变量的一组值表示一种方案，同时决策变量一般是非负的。（2）目标函数是决策变量的线性函数，根据具体问题可以是最大化（max）或最小化（min），二者统称为最优化（opt）。（3）约束条件也是决策变量的线性函数。当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。*引例求解：（1）确定决策变量：设x1、x2、x3分别为产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的周生产数量；（2）明确目标函数：获利z最大，即求z=12x1+14x2+13x3最大值；（3）所满足的约束条件：选料工序工时限制：1.1x1+1.2x2+1.4x3≤4600提纯工序工时限制：0.5x1+0.6x2+0.6x3≤2100调配工序工时限制：0.7x1+0.8x2+0.6x3≤2500基本要求：x1，x2≥0用max代替最大值，s.t.（subjectto的简写）代替约束条件，则该模型可记为*3.线性规划的标准型其中f为目标函数中决策变量的系数值向量，A为线性不等式约束的系数矩阵，b为线性不等式约束的右端常数向量，Aeq为线性等式约束的系数矩阵，beq为线性等式约束的右端常数向量，lb为决策变量x的下界值向量，up为决策变量x的上界值向量。*(1)线性规划问题的可行域如果非空，则是一个凸集-凸多面体；(2)如果线性规划问题有最优解，那么最优解可在可行域的顶点中确定；(3)如果可行域有界，且可行域只有有限个顶点，则问题的最优解必存在，并在这有限个顶点中确定；(4)最优解可由最优顶点处的有效约束形成的方程组的解确定。常用的线性规划求解方法有单纯形法和内点法。线性规划的几个基本性质：*4.线性规划求解思路*（1）单纯形法(simplexmethod)单纯形法是由G.B.Dantzig在1947年提出来的，这是20世纪数学界最重大的成果之一。单纯形法是一种迭代法，它根据线性规划问题的特点在问题可行域的顶点中逐步确定问题的最优解。在每一个是基本可行解的迭代点（即顶点），如果它不是最优的，单纯形法从与该顶点相连结的边中确定一个使目标函数值下降的边，沿该边移动可以确定一个与该顶点相邻且目标函数又优于该顶点的新顶点（新的基本可行解）。由于可行域的顶点数是有限的，如果每一次的移动都能使目标函数值下降，则经过有限次的移动方法必终止于问题的一个最优顶点。5.线性规划求解方法*（2）从单纯形法到内点法由于单纯形法的有效性，几十年来得到了广泛的应用。近年来，对于大规模的线性规划问题，尽管单纯形法受到了内点法的挑战，但单纯形法还是