圆中最值问题(解析版).docxVIP

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圆中最值问题

一、点到直线的最值问题

原理：垂线段最短．

1、如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）．

A. B. C.3 D.2

答案：B

解答：∵PQ切⊙O于点Q，

∴∠OQP=90°，

∴PQ2=OP2-OQ2，

而OQ=2，

∴PQ2=OP2-4，

即PQ=，

当OP最小时，PQ最小，

∵点O到直线l的距离为3，

∴OP的最小值为3，

∴PQ的最小值为=．

选B.

2、在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点A(0,3)，直线y=kx-3k+4与⊙O交于B，C两点，则弦BC的长的最小值为（）．

A.5 B.2 C.3 D.4

答案：D

解答：直线y=kx-3k+4必过点D(3,4)，∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦．∵点D的坐标是(3,4)，∴OD=5．∵以原点O为圆心的圆过点A(0,3)，∴圆的半径为3，∴OB=3，∴BD==2，∴BC的长的最小值为4．

3、如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为______．

答案：3

解答：当OM⊥AB时，OM最小，此时OM==3．

4、如图，在Rt△AOB中，OA=OB=4，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），切线PQ的最小值为______．

答案：

解答：连接OP，OQ，如图所示，

∵PQ是O的切线，

∴OQ⊥PQ，

根据勾股定理知：PQ2=OP2-OQ2，

∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，

∵在Rt△AOB中，OA=OB=4，

∴AB=OA=8，

∴S△AOB=OA·OB=AB·OP，

即OP==4，

∴PQ==．

5、如图，直线y=kx-3k+4与⊙O交于B、C两点，若⊙O的半径为13，求弦BC长度的最小值．

答案：24．

解答：y=kx-3k+4必过点D(3,4)，

∴最短的弦BC是过点D且与该圆直径垂直的弦，

∴OD=5，OB=13，

∴BD=12，

∴BC的长的最小值为24．

二、点到圆的最值问题

原理：定点与圆上的动点之间的距离：当定点、动点和圆心三点共线时有最大或最小值．

APmax=OA+r，APmin=|OA-r|．

6、已知点P到圆上各点的最大距离为5，最小距离为1，则圆的的半径为（）．

A.2或3 B.3 C.4 D.2或4

答案：A

解答：当点P在圆内，则圆的直径=5+1=6，所以圆的半径=3；

当点P在圆外，则圆的直径=5-1=4，所以圆的半径=2．

通常构造辅助圆求点到圆的最值问题

7、（2021·南平延平区模拟）如图，Rt△ABD中，∠D=90°，AB=8，BD=4，在BD延长线上取一点D，使得DC=BD，在直线AD左侧有一动点P满足∠PAD=∠PDB，连接PC，则线段CP长的最大值为______．

答案：

解答：如图，取AD的中点O，连接OP，OC.

∵∠PAD=∠PDB，∠PDB+∠ADP=90°，

∴∠PAD+∠ADP=90°，

∴∠APD=90°．

∵AO=OD，

∴PO=OA=OD.

∵

∴OP=

∵BC=CD=4,OD=

∴

∵PC≤OP+OC

∴PC≤

∴PC的最大值为.

8、（2021·佛山三水区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D是△ABC内部的一个动点，且满足∠ACD=∠CBD，则AD的最小值为______．

答案：2

解答：∵∠ACB=90°，

∴∠BCD+∠DCA=90°．

∵∠DBC=∠DCA，

∴∠CBD+∠BCD=90°，

∴∠BDC=90°，

∴点D在以BC为直径的☉O上，连接OA交

☉O于点D，此时DA最小，

在Rt△CAO中，∵∠OCA=90°，AC=4，OC=3，

∴

∴DA=OA-OD=5-3=2.

故答案为2

9、如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，点P是同一平面内的一个动点，且满足∠BPC＝90°，连接AP，求线段AP的最小值和最大值．

答案：

解答：解：如图，以BC为直径作圆O，连结AO交圆于两点P1，P2，

则AP1最小，AP2最大．

∵AP1?AP2＝AC2，AC＝2，P1P2＝2，

∴AP1（AP1+2）＝4，

解得AP1＝（负值舍去），

∴AP2＝．

故线段AP的最小值和最大值分别是和．

10、如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，求线段A′C的最小