2024年清华大学高中数学测试题.pdf

1、证明：h2xrxsxn−

()()()x1p

(mod)

又不整除，因此nnn

n(x−1nx−nx−⇒hx≡p

,1

)(1

,1

p)()1(mod)

2、证明：任取一个，由于各不相同，因此至多存在一个，若对任意，

xiyjyjxi1≤j≤m

y≠x。因此y,y,,中至少有一个不与，相等。由插值公式，

ji12ymyixij≠iLagrange

存在一个至多2m−1次的多项式f(x)a2m−1x2m−1+a2m−2x2m−2++a0满足

2m−1

r

∑ax

mmrk

f(xk)r0

f(xj)0,j≠if(xi)ixi,f(yt)tyt,f(yi)0,i≠t。从而∑∑

k1kk1k

2m−1

r

∑ay

mf(xk)mr0rkmf(yk)

∑∑∑⇒xiyt，矛盾。

k1kk1kk1k

3、证明：显然f(n)≥2。设选出的最大的数组集合为，不妨设α(1,1,1,,1,1),