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函数极限通论制作人:时间:2024年X月
CATALOGUE目录第1章简介
第2章实数系
第3章函数极限
第4章极限的运算
第5章函数连续性
第6章总结
CATALOGUE01第1章简介
欧拉、柯西、魏尔斯特拉斯等数学巨匠为极限理论的发展打下坚实基础历史0103函数极限是微积分、数学分析等领域的重要基础概念,广泛应用于物理、工程等实际问题中重要性02了解函数极限的定义、性质和计算方法,为深入学习微积分打下基础目的
函数初步函数是一种将一个集合中的元素映射到另一个集合中的数学对象函数定义单调性、奇偶性、周期性、对称性等函数性质绘制函数图像的方法、一些基本函数的图像特征函数图像
极限初步数列极限和函数极限的定义极限定义唯一性、局部有界性、保号性等极限性质夹逼准则、单调有界原理、无穷小量等极限存在判定方法
极限计算使用分离变量法、利用极限的四则运算法则、通过洛必达法则等方法计算函数极限函数极限的计算方法
夹逼准则2若对于所有nN,均有an≤bn≤cn,则有limbn=l,则有liman=l,limcn=l夹逼准则3若对于所有nN,均有an≤cn,liman=l,limcn=l,则有limbn=l夹逼准则4夹逼准则适用范围有限,不是一切情况下都可用夹逼准则夹逼准则1若对于所有nN,均有l1≤an≤l2,则有limanl,其中l1≤l≤l2
极限的连续性函数在某点x0处连续的定义连续性定义有界性、介值定理、零点定理等连续性性质函数极限的计算、连续函数的分类等连续性应用
CATALOGUE02第2章实数系
实数系的构造实数系是由有理数系和无理数系构成的。有理数系是所有可以表示为两个整数比值的实数的集合,无理数系是所有不能表示为两个整数比值的实数的集合。实数系是数学中最重要的一种数系,包含了所有有理数和无理数,是数学运算和分析的基础。
实数系的构造有理数系无理数系实数系的定义
实数系的性质实数系具有完备性、有序性、稠密性等性质。其中,完备性是指实数系中的一个子集满足柯西收敛准则,则该子集必定有极限值。有序性是指实数系中的任意两个实数都可以比较大小。稠密性是指实数系中的任意两个实数之间都可以找到一个有理数或无理数。
实数系的性质实数系的完备性实数系的有序性实数系的稠密性
函数的连续性在实数系中,函数的连续性是指函数在某一点上的值与该点附近的点的函数值之间的无限接近性。若一个函数在某一点处连续,意味着在该点的无穷小邻域内函数值与该点处函数值之间的差趋近于0。函数的连续性是数学分析中非常重要的概念,与微积分、数学物理等领域密切相关。
函数的连续性无间断点函数有间断点函数函数的一致连续性
极值和最值在实数系中,极值和最值是函数的重要性质。极值是指函数在某一点处的斜率为零,该点是函数的局部最大值或最小值。最值是指函数在某一区间上取得的最大值或最小值。极值和最值是函数研究中的基本问题,对于函数的性质分析和优化具有重要的意义。
最值最值是函数在某一区间上取得的最大值或最小值
最大值是指区间内函数值最大的点,最小值是指区间内函数值最小的点
函数的最值和极值是函数研究的重要问题,对于函数的性质分析和优化具有重要的意义常用方法求解函数的极值和最值可以通过导数来实现
当导数为零或不存在时,该点可能是极值点
当导数符号改变时,该点可能是最值点举例说明对于函数f(x)x^3-3x^2+4,求其极值和最值
f(x)=3x^2-6x,令f(x)=0,解得x=0或2
f(x)=6x-6,f(0)=-60,f(2)=60
故x=2是极小值点,f(2)=4
当x趋于正无穷或负无穷时,f(x)趋于正无穷极值和最值极值极值分为局部极值和全局极值
局部极值的点在函数图像上是极值点,但并不一定是函数的最大值或最小值点
全局极值是指函数在其定义域内取得的最大值或最小值,也称之为最值
CATALOGUE03第3章函数极限
一元函数极限函数极限是数学分析中的重要概念之一。一元函数极限是指当自变量逐渐趋近于某一确定值时,函数值趋近于某一确定值,也可以是正无穷大或负无穷大。
极限定义左极限等于右极限左极限右极限等于左极限右极限函数值无限趋近于正无穷大或负无穷大无穷大极限
极限性质函数的极限唯一唯一性函数在一个极限点的某个邻域内的性质决定了极限的正负和大小局部性函数极限与数列极限保号性质相同保号性
极限存在判定方法夹逼准则是一种常用的极限存在判定方法,通过确定一个中间函数与原函数的关系,来判断函数极限是否存在夹逼准则单调有界准则是另一种常用的极限存在判定方法,通过证明函数单调有界,来判断函数极限是否存在单调有界准则等价无穷小准则是一种常用的函数极限的计算方法,通过将函数转化为一个与之等价的无穷小函数,来
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