线性代数(人大第六版).pptVIP

本章介绍矩阵的特征值、特征向量以及矩阵对角化的问题。*第一节矩阵的特征值与特征向量(一)矩阵的特征值定义说明：1、特征值问题是针对方阵而言的；2、特征向量必须是非零向量；3、特征向量既依赖于矩阵A，又依赖于特征值λ。*特征值与特征向量的计算方法：即要求齐次线性方程组有非零解，即方程的根就是矩阵A的特征值，相应非零解即为特征向量。记称为矩阵A的特征多项式，*称为矩阵A的特征多项式，为矩阵A的特征方程。特征方程的根，即为矩阵A的特征值。记*计算矩阵特征值和特征向量的一般步骤如下：*例1设求A的特征值与特征向量。解所以A的特征值为相应齐次线性方程组的基础解系为*相应齐次线性方程组的基础解系为*练习设求A的特征值与特征向量。解所以A的特征值为相应齐次线性方程组的基础解系为*相应齐次线性方程组的基础解系为*例2设求A的特征值与特征向量。解所以A的特征值为*相应齐次线性方程组的基础解系为*自由未知量取为基础解系:*例求下面齐次线性方程组的一个基础解系，并用基础解系表示出全部解。解*自由未知量取为基础解系:*(二)非齐次线性方程组解的结构*非齐次线性方程组解的性质：证明证明*定理(**)的全部解。证明由上述性质可知，为导出组(*)的解，记为则(**)的全部解。*设非齐次线性方程组全部解的求法：满足则有无穷多解,导出组(1)求出导出组(*)的基础解系(2)求出原方程组(**)的一个特解则(**)的全部解为全部解。*解例求方程组的全部解。所以方程组有无穷多解。*导出组的基础解系：特解：所以全部解为任意。*例方程组的增广矩阵为导出组的基础解系：*特解：所以全部解为任意。*解练习用基础解系表示如下线性方程组的全部解*导出组的基础解系：特解：所以全部解为任意。*解例方程组(1)?为何值时，无解？有唯一解？有无穷多解？(2)无穷多解时，求出全部解(用向量表示)。无解;*有无穷多解,全部解为k为任意常数.*例证将矩阵B按列分块，设则*ENDEND*习题选解*16、设解(1)线性无关；线性相关。*解(2)由于有三个三维向量，直接求行列式16、设*解(3)因为向量组的个数多于维数，则必线性相关，16、设*25、对下列线性方程组,讨论入取何值时,方程组无解、有唯一解和有无穷多解；在方程组有无穷多解时,用其导出组的基础解系表示全部解。解系数行列式*无解;无穷多解,*无穷多解,导出组的基础解系为特解全部解为*解法127、设线性方程组与方程有公共解，求a的值及所有公共解．将(1)与(2)联立得非齐次线性方程组(3)的解即为所求全部公共解.***即为(1)与(2)的唯一公共解.*解法2与方程有公共解，求a的值及所有公共解．方程组(1)的系数行列式27、设线性方程组***第四章*上式可写为考察齐次线性方程组因为所以必有非零解*推论1定理由上述推论知，推论2两个线性无关且彼此等价的向量组，必含有相同个数的向量.证且彼此等价，*第四节向量组的秩(一)向量组的极大无关组一个向量组的一个部分组称为一个极大(线性)无关组,如果它是线性无关的,但再任意添一个向量(如果还有的话)所得向量组线性相关。定义一个线性无关的向量组,它的极大无关组就是它本身。任何一个向量组,只要它含有非零向量,就一定有极大无关组。??*例如，设有向量组*一个向量组的任一极大无关组与该向量组本身等价.定理证明首先,(Ⅱ)是(Ⅰ)的部分组,当然可以被(Ⅰ)线性表出.其余的向量定理*一个向量组的任一极大无关组与该向量组本身等价.定理证明首先,(Ⅱ)是(Ⅰ)的部分组,当然可以被(Ⅰ)线性表出.其余的向量从而(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出.因此(Ⅰ)与(Ⅱ)等价.*由等价的传递性可知,一个向量组的任两个极大无关组彼此等价,由前面推论2可知,两个线性无关且彼此等价的向量组，必含有相同个数的向量.*由等价的传递性可知,一个向量组的任两个极大无关组彼此等价,由前面推论2可知,向量组任意两个极大无关组所包含的向量个数相同。*(二)向量组的秩向