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两个重要极限

（第一课时）

一、教学目标

复习该章的重点内容。

理解重要极限公式。

——新浪微博：月牙LHZ

运用重要极限公式求解函数的极限。二、教学重点和难点

重点：公式的熟记与理解。难点：多种变形的应用。三、教学过程

1、复习导入

（1）极限存在性定理：lim

f(x)?A?limf(x)?limf(x)?A

0x?x x?x? x?x?

0

0 0

（2）无穷大量与无穷小量互为倒数，若f(x)??（x?x），则

0

1

f(x)

?（0x?x）

0

极限的四则运算：

lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)

limf(x)?limf(x)

?limg?x??0?

g(x) limg(x)

lim?cf(x)??climf(x)（加法推论）

lim?f(x)?k??limf(x)?k（乘法推论）

lim?无穷小量?有界变量??0（无穷小量的性质）

eg:limsinx

?lim?1?sinx??0

x?? x

? ?

x???x ?

那么，limsinx

x?0 x

?？呢，这是我们本节课要学的重要极限

2、掌握重要极限公式

limsinx?1

x?0 x

公式的特征：（1）0型极限；

0

分子是正弦函数；

sin后面的变量与分母的变量相同。

3、典型例题

【例1】 求limsinx?k?0?

x?0 kx

解：limsinx=1limsinx?

1 1

?1?

x?0 kx kx?0 x k k

【例2】 求limtanx

x?0 x

解：limtanx=lim?sinx 1 ??limsinx?lim 1

?1?1?1

x ? x cosx? x cosx

x?0

x?0? ? x?0 x?0

（推导公式：limtanx?1）

x?0 x

【例3】 求limsin5x

x?0 x

解：limsin5x

sin5x

?lim5?

sin5x

?5?lim

?5?1?5

x?0 x

x?0 5x

x?0 5x

4、强化练习

limsinx（2）limsinkx

?k?0?（3）limsin5x

(4)limtan2x

x?0 3x x?0 x

x?0 3x

x?0 x

解：（1）limsinx=1limsinx

1 1

? ?1?

x?0 3x 3x?0 x 3 3

limsinkx

sinkx

?limk?

sinkx

?k?lim

?k?1?k

x?0 x

x?0 kx

x?0 kx

limsin5x

?lim?sin5x?5? 5

limsin5x 5

1?5

x?0 3x

?

x?0?

5x 3??

? ?

?3 x?0 5x 3 3

?

limtan2x=lim?sin2x 1 ??2?limsin2x?lim 1

?2?1?1?1

x ? x cos2x?

2x cos2x

x?0

四、小结:

x?0? ?

x?0 x?0

本节课我们学习了一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函数的极限。在运用这个公式时，要注意两点：一是分子中的三角函数转换为正弦函数，二是分子sin后面的变量与分母的变量相同。

五、布置作业:

（1）limsinx（2）limsin3x （3）limsin5x (4)limtan3x

x?0 5x x?0 x x?0 2x x?0 x

两个重要极限

（第二课时）

一、教学目标

理解重要极限公式。

————新浪微博：月牙LHZ

运用重要极限公式求解函数的极限。二、教学重点和难点

重点：公式的熟记与理解。难点：多种变形的应用。三、教学过程

1、复习导入：

本节课我们学习一个重要的极限公式。首先我们一起复习一下指数运算。

?ab?n?anbn

an?m?an?am

anm??an?m

2、掌握重要极限公式

1lim(1?

1

x??

x)x?e

3、典型例题

【例1】lim(1?

x??

2

x)x

解： 2 1 x

1 x （构造法）

lim(1?