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2023年新高考数学大一轮复习专题42计数原理

数学是一门理性的学科，它需要我们运用逻辑、推理等思维方式进行思考和解题，其中包含着许多复杂的概念和方法。如果我们想要成功地应对2023年的新高考，就必须认真学习和掌握数学知识的各个方面。在这篇文章中，我将为大家介绍2023年新高考数学大一轮复习专题42——计数原理这一主题，对如何应对计数原理考题进行分析和总结。

一、计数原理的概念

计数原理是数学中最基本的思想之一，它是研究“个数”和“排列”的方法和理论。关于计数原理的学习，在我们的学习过程中已经非常熟悉了。例如，在初中的数学中，我们学习了从n个不同的元素中取出m个元素的组合数公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!);在高中的数学中，我们学习了从n个不同的元素中取出m个元素的排列数公式为A(n,m)=n!/(n-m)!。然而，计数原理的应用却远远不止于此，它在日常生活中也有着广泛的应用。

二、计数原理的分类

在学习计数原理的过程中，我们需要了解、掌握几种类型的计数方法。对于组合、排列等的求解，我们需要使用对应的公式，但在面对更为复杂的题目时，我们则需要运用更为高级的计数方法。

1.加法原理

加法原理是数学中最基本的原理之一，它是对一个事件的不同情况进行分析后，求出它们的事件总数的方法。

例如，有一个装有7个球的箱子，其中有3个红球、3个黄球和1个蓝球。现在要从箱子里取出2个球，请问取出的2个球都是红球的组合方式有多少种？

解题思路：根据加法原理，我们可以将取出2个红球的所有情况数加起来，即C(3,2)=3种。

2.乘法原理

乘法原理主要用于解决多个事件的组合问题，即将多个事件的可能情况相乘得出总方案数。

例如，在一个10人的班级里，如果要选出3名同学担任班长、副班长和团支书，那么共有多少种不同的组合方式？

解题思路：由于该问题涉及了3个人的选择，我们可以使用乘法原理。首先，选择班长有10种方法；然后，在去掉已经选出的班长后，选择副班长有9种方法；最后，在去掉已经选出的班长和副班长后，选择团支书有8种方法。因此，总共的方案数为10x9x8=720。

3.容斥原理

容斥原理是解决多元事件中的互不可重叠问题的一种工具，其核心思想是将有重叠的事件的方案数进行减法计算。

例如，有3个集合A、B、C，它们的元素分别为A={1，2，3}，B={2,3,4}，C={3，4，5}。现在需要找出A、B、C中元素不重复的所有集合，求出这些集合的数量。

解题思路：依据容斥原理，我们可以计算出A、B和C三个集合之间的交集，即{3}，并结合加法原理和乘法原理求解。首先，我们通过排除至少有一个交集元素的集合来计算符合要求的集合的总数。对于集合A，如果包含元素3，则只有两个元素可以被选中，分别是1和2，共有2种情况；同理，对于集合B和C，如果包含元素3，4，则符合标准的集合只有一种，即元素为1、2、5的集合。因此，一共有2x2x1=4种符合条件的集合。但是，我们在排除了至少有一个元素3的情况后发现，我们将元素{1,2,3}和{2,3,4}都排除了。因此，我们需要再加上这两个集合的交集{2,3}，即总方案数为4+1=5，这5种集合符合题目要求。

三、计数原理在高考中的应用

在高考中，计数原理是一个非常重要的考点，通常会涉及到排列、组合等问题。考生需要掌握各种计数方法的应用，并能够灵活地运用于复杂的问题当中。下面，我们来看几个具体的例子。

1.例题一

在1,2,3,4,5,6,7这七个数字中，任选两个数字，它们的差为2的组合有多少种？

解题思路：根据题目所给的条件，我们可以列出所有符合条件的组合：(1,3)、(2,4)、(3,5)、(4,6)、(5,7)，共5种。因此，答案为5。

2.例题二

有5辆不同的小汽车要依次到达终点，问它们依次到达终点的方案数是多少？

解题思路：根据乘法原理，我们可以得出答案为5！=120。

3.例题三

有5本书A、B、C、D、E，其中A、B、C任选一本，D、E任选一本，问选书的方案数是多少？

解题思路：根据加法原理和乘法原理，首先选择ABC中的一本书，共有3种选择方法；接着选择DE中的一本书，共有2种选择方法，因此总共的方案数为3x2=6。

4.例题四

从1,2,3,4,5中随意取出3个数字，组成三位数，其中各位数字不可以重复，问一共可以组成多少个这样的三位数？

解题思路：本题有3个空位需要被填上数字。首先，我们可以从5个数字中选择一个数作为百位数字，这时候剩下的数字只有4个，可供选择的方案为4种。接下来，我们从剩下的4个数字中选择一个数作为十位数字，并在该数选择后将其从待选择的数字中去除，剩下的数字只有3个，可供选择的方案为3种。最后，我们从剩下的3个数字中选择一个数作为个位数字，由于此时只有1个待选