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格致中学二〇二三学年度第二学期期中考试
高一年级数学试卷
(测试90分钟内完成,总分100分,试后交答题卷)
一、填空题:(本题共有12个小题,每小题4分,满分48分)
1.不等式的解集为______________.
2.函数的最小正周期是,则______.
3.已知集合,,且.则实数的取值范围为______.
4.已知向量,,则在的方向上的数量投影为______.
5.若,则最小值是_____.
6.已知向量的夹角为,,若,则实数x的值为_______.
7.已知α为锐角,且cos(α+)=,则sinα=________.
8.函数,R的单调递增区间为________
9.已知函数()是偶函数,则的最小值是______.
10.已知方程在上有实数解,则实数的取值范围是______.
11.已知菱形ABCD的边长为2,,点E,F分在边BC,CD上,,.若,则的最小值为___________.
12.设,函数.若在上单调递增,且函数与的图象有三个交点,则的取值范围是________.
二、选择题:(本题共有4个小题,每小题4分,满分16分)
13.在中,是为等腰三角形的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14.为了得到函数的图象,只要把函数图象上所有的点()
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
15.已知实数,若函数满足:当时,恒成立,则可取值的个数为()
A.4 B.3 C.2 D.1
16.在给出的下列命题中,是假命题的是
A.设是同一平面上四个不同的点,若,则点必共线
B.若向量是平面上的两个不平行的向量,则平面上的任一向量都可以表示为,且表示方法是唯一的
C.已知平面向量满足,且,则是等边三角形
D.在平面上的所有向量中,不存在这样的四个互不相等的非零向量,使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直
三、解答题:(本题共有4大题,满分36分.解题时要有必要的解题步骤)
17.已知为坐标原点,向量,,,若,,三点共线,且,求实数,的值.
18.如图,点是单位圆与轴正半轴的交点,点在单位圆上,(),,四边形的面积为.
(1)求最大值及此时的值;
(2)设点的坐标为,,在(1)的条件下,求的值.
19.在中,角所对的边分别为,且
(1)若成等比数列,求角的大小;
(2)若,且,求面积.
20.已知函数,其中.
(1)若,求的对称中心;
(2)若,函数图象向右平移个单位,得到函数图象,是的一个零点,若函数在(且)上恰好有8个零点,求的最小值;
(3)已知函数,在第(2)问条件下,若对任意,存在,使得成立,求实数a的取值范围.
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