例谈数列问题中的待定系数法.docx

在高考数学中，数列是经常考察的一种题型。数列通项公式解法有:待

定系数法。

“待定系数法”求解数列通项公式，一般来说有5种类型。

氏待定系数法

待定系数法是数列通项公式求解中，最为常见的一种方法。以下关于待定系数法的求解公式中，一共有5种递推式的情况。

第一种：

1、递推式为a，*—pa—q（p#l，麒尹o）型，通过分解常数，可转化为特殊数列｛笔也｝的形式求解。解法；设a泌+蚌P（an+k）与原式比较系数可得pk-k=q,即k=—%,从而得等比数列（aw+k｝.

伊］1、数列｛日《，［沸足占..=1.%=§占I十LCiA技）.求敝列｛%｝的通顶公■式=

郡曲ill打口=?m卜.+1 f导习口一S=! —23,

Tftr—2=1—2=—1L,二知列［打”一幻是以;为公比，

—1为已项的等比散列.?■甘?一卫=一c15IFJ=2—cA）z

说现私冠迁打布猴1由分解,迁行逐当旬I会，可衍室比救珂［—2H

从而it到解决:F可趣的曰的，

例2、

数列W村｝满足礼=1,3%+i+仁,-7=0,求数列｛云混的通项公式

解，由gf-7=。得5=_上+?

TOC\o1-5\h\z1 b7

设％『+-=—:(%+幻，比较系数得一止―§

3 33

7 7 1

解一得把=—;.??｛%—=?是以一」为公比，

4 4 3

以7=1—1=—兰为首项的等比数列

4 4 4

例3、已知数列｛孔｝满足白=1,且g-3%卜2,求与

解=设a?+l+f=3(a?+0,则口心=3%+2，=f=L

、+1=3(%+l)n｛%+1｝是以(A41)为首巩

以3为公比的等比数列

—1=皿+1)=2?3心nq=2?3i-1

点评；求递推式形如a^=patl+q3、q为常数)的数列通」项，可用迭代法或待

定系数法构造新数列4刊++工)来求得，也可用归纳一猜想一证p-l 1-p

明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型.

第二种

2、递推式为揆*=#%+◎枳（□,Q为常数）型,可同除4而，

得萨专罗一令如

从而化lL|

得萨专罗一令如

从而化lL|为已汁=pj+q

广,

（p.q为常数）型.

外-3盖十、（n2）,求如

解二将…而2妇两边同除『，得争二1+%=*=1+：粉

设瓦奇则如=1中，

令虬一「=［（妃】一，）=如=：妃l十：『

7f=3,条件可化成b“-3=三（b?1-3）,

数列也-3｝是以-3=号-3=-?为首项，

￡为公比的等比数列.

虬-3=-§（：广.因

.q=M=町-广+力= ?

第三种：

3、递推式为0=#《+彻+”（#hL。，日湘）

解法；这种英型一般利用待定系数法构造等比数列，

即令n?+l+T（H41）-1-j=j^an+XT?+^）,与已知递推式，较,

解匕礼y，从而转化为｛%十却十y｝是公比为尹的等比数列，

例1:设数列血)：ax=Ar,an=3%[+2w-10乏2),求％

解，令 —尤3+1)十，=3(口帕+冲+,)化简得；=3%+2湖+2孑7

2x=2

所以所以+1)=3(%

所以

所以+1)=3(%一?)

又因为叫—1-5,所以数列｛%+时是以§为首项,3为公比的等比数列，

从而可得弓+?=5x如L所以=5x3%

第四种：

4、递推式为一pq+(7/+6孙+仁(p±1,0,iwO)

解法；这种类型一般利用待定系数汶构造等比数列，

即令g+ +1)~+y(n+1)—二一p(“检+xn2+,7?+二)■

与已知递推式比较，解出从而转化为｛an+xn2+J7?4-z｝是公比为P的等比数列。

第五种

例1、己知数列｛%｝满足*2=5%-6q,%=-1,务=2

求数列｛%｝的通项公式。

解：设％2+山Z=（5+2）0-1+如）比较系数得人=一3或人=_2,不妨取人=一2,

〔取?3结果形式可能不同，但本质相同）

则％+2-2a^i=3（々z-2%）,则｛Qg-2qJ是首项为耳,公比为3的等比数列

???%-2外=4?3’t,所以％=4?3心一5?2^

总结：在使用待定系数法时，要注意以下几点:

（1） 使用〃待定系数法”做题时，先去观察题干条件中所给出的数列形式，然后针对不同的数列递推公式去选择适合的解题方法。

（2） 〃待定系数法”的本质思路是将我们不熟悉的数列形式转化为等差数列或等比数列。