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2020年全国大学高等数学考试试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)

(1)设(为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.

(2)设,则div(gradr)=_____________.

(3)交换二次积分的积分次序:＝_____________.

(4)从的基到基的过渡矩阵为.

(5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为则.

(6)已知一批零件的长度X(单位：cm)服从正态分布，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40(cm)，则的置信度为0.95的置信区间是.

(注：标准正态分布函数值

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设函数f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有[]

一个极小值点和两个极大值点.

两个极小值点和一个极大值点.

两个极小值点和两个极大值点.

(D)三个极小值点和一个极大值点.

y

Ox

（2）设均为非负数列，且,,,则必有[]

(A)对任意n成立.(B)对任意n成立.

(C)极限不存在.(D)极限不存在.

（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且，则[]

(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点.

(B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点.

(C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点.

(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.

(4)设则与[]

(A) 合同且相似. (B) 合同但不相似.

(C) 不合同但相似. (D) 不合同且不相似.

(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于[]

(A)-1. (B) 0. (C) . (D) 1.

三、(本题满分6分)

求.

四、（本题满分12分）

将函数展开成x的幂级数，并求级数的和.

五、(本题满分8分)

设=将展开成的幂级数,并求级数的和.

六、（本题满分10分）

某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下am.根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1).问

(1)汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？

(2)若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？

（注：m表示长度单位米.）

七、(本题满分7分)

设在内具有二阶连续导数且,试证:

(1)对于内的任一,存在惟一的,使=+成立;

(2).

八、（本题满分12分）

设函数f(x)连续且恒大于零，

，，

其中，

(1)讨论F(t)在区间内的单调性.

(2)证明当t>0时，

九、(本题满分6分)

设为线性方程组的一个基础解系,,,

,其中为实常数.试问满足什么条件时,也为的一个基础解系.

十、（本题满分8分）

已知平面上三条不同直线的方程分别为

，

，

.

试证这三条直线交于一点的充分必要条件为

十一、(本题满分7分)

设某班车起点站上客人数服从参数为()的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为(),且中途下车与否相互独立.以表示在中途下车的人数,求:

(1)在发车时有个乘客的条件下,中途有人下车的概率;

(2)二维随机变量的概率分布.

十二、（本题满分8分）

设总体X的概率密度为

其中是未知参数.从总体X中抽取简单随机样本，记

求总体X的分布函数F(x);

求统计量的分布函数；

如果用作为的估计量，讨论它是否具有无偏性.

2020年全国大学高等数学考试试题与解析

一、填空题

(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是,从而得知特征方程为

.

由此,所求微分方程为.

(2)【分析】 先求gradr.

gradr=.

再求 divgradr=

=.

于是 divgradr|=.

(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分