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浙江省绍兴市第一中学2023-2024学年高一下学期创新班期中考试数学试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.若复数z满足z=i(2+z)(i为虚数单位),则z=(???)
A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i
2.如图所示,梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图,,,则平面图形ABCD中对角线AC的长度为(????)
A. B. C. D.
3.已知样本数据的平均数和标准差均为4,则数据的平均数与标准差分别为(????)
A. B. C. D.
4.一个圆锥的侧面展开图是半径为的半圆,则此圆锥的内切球的表面积为(????)
A. B. C. D.
5.光源经过平面反射后经过,则反射点的坐标为(????)
A. B. C. D.
6.若的第百分位数是则的取值范围是(????)
A. B. C. D.
7.如图是棱长均相等的多面体,其中四边形是正方形,点分别为DE,AB,AD,BF的中点,则异面直线与所成角的余弦值为(????)
A. B. C. D.
8.在正方体中,点分别是直线上的动点,点是△内的动点(不包括边界),记直线与所成角为,若的最小值为,则与平面所成角的正弦的最大值为(????)
A. B. C. D.
二、多选题
9.在12件同类产品中,有9件正品和3件次品,从中任意抽出3件产品,设事件“3件产品都是次品”,事件“至少有1件是次品”,事件“至少有1件是正品”,则下列结论正确的是(????)
A.与为对立事件 B.与不是互斥事件
C. D.
10.在某市高三年级举行的一次模拟考试中,某学科共有20000人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(成绩均为正整数,满分为100分)作为样本进行统计,样本容量为,按照的分组作出频率分布直方图如图所示,其中,成绩落在区间内的人数为16.则(????)
A.图中
B.样本容量
C.估计该市全体学生成绩的平均分为71.6分
D.该市要对成绩前的学生授予“优秀学生”称号,则授予“优秀学生”称号的学生考试成绩大约至少为77.25分
11.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”,它能在两个平行平面间自由转动,并且始终保持与两平面都接触,因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心,以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分,如图所示,若正四面体ABCD的棱长为a.则(????)
A.能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为
B.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
C.勒洛四面体中过三点的截面面积为
D.勒洛四面体的体积
三、填空题
12.从含有6件次品的50件产品中任取4件,观察其中次品数,这个试验的样本空间Ω=.
13.如图,甲乙做游戏,两人通过划拳(剪刀、石头、布)比赛决胜谁首先登上第3个台阶,并规定从平地开始,每次划拳赢的一方登上一级台阶,输的一方原地不动,平局时两人都上一个台阶.如果一方连续赢两次,那么他将额外获得上一级台阶的奖励,除非已经登上第3个台阶,当有任何一方登上第3个台阶时游戏结束,则游戏结束时恰好划拳3次的概率为.
??
14.在三棱锥中,二面角的大小为,,,则三棱锥外接球表面积的最小值为.
四、解答题
15.已知复数,(其中为虚数单位)
(1)当复数是纯虚数时,求实数的值;
(2)若复数对应的点在第三象限,求实数的取值范围.
16.如图,在四棱锥中,底面是以2为边长的菱形,且,,为的中点.
??
(1)求证:平面平面;
(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.
17.为了了解学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性等,某学校对在校1500名学生进行了一次坐位体前屈测试,采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取75人,已知这1500名学生中男生有900人,且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为和,女生的平均数和方差分别为和.
(1)求样本中男生和女生应分别抽取多少人;
(2)求抽取的总样本的平均数,并估计全体学生的坐位体前屈成绩的方差.
18.如图,已知直角三角形ABC的斜边平面,A在平面上,AB,AC分别与平面成和的角,.
(1)求BC到平面的距离;
(2)求平面与平面的夹角.
19.如图,四棱锥的底面是平行四边形,平面与直线分别交于点,且,点在直线上运动,在线段上是否存在一定点,使得其满足:
(i)直线;
(ii)对所有满足条件(i)的平面,点都落在某一条长为的线段上,且.若存在,求出点的位置;若
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