高等数学模拟试题1.docVIP

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高等数学模拟试卷

一、填空题

.函数的定义域为.

.

.曲线在点（，）处的切线方程为.

二、选择题

.设在点处可导，且,则()

..当时,与比较是().

().较高阶的无穷小().较低阶的无穷小

().同阶但不等价的无穷小().等价的无穷小

.设曲线在点处的切线斜率为,则点的坐标为()

三、计算题

.计算

.设求全导数

.求微分方程的通解.

.求幂级数的收敛域.

答案

一、填空题：

.分析初等函数的定义域，就是使函数表达式有意义的那些点的全体.

解由知，定义域为.

.分析属型,套用第二个重要极限.

解.

.解,，

所求切线方程为:,即.

二、选择题

.解.选

.分析先求两个无穷小之比的极限,再做出正确选项.

解因,故选().

.解由知,又,故选().

三、计算题

.分析属型未定式,利用等价无穷小代换,洛必达法则等求之.

解

.

.解

.

.分析属一阶线性微分方程,先化成标准形,再套用通解公式.

解原方程化为:,

通解为:

.

.分析先求收敛半径,收敛区间,再讨论端点处的敛散性,从而确定收敛区域.

解收敛半径:,收敛区间为()

在处,级数收敛;在处,级数收敛,所以收敛域为:[].

高数模拟试卷

一.选择题：本大题共个小题，每小题分，共分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。

*.函数在点不连续是因为（）

. .

.不存在 .不存在

答案： 不存在。

.设为连续函数，且，则下列命题正确的是（）

.为上的奇函数

.为上的偶函数

.可能为上的非奇非偶函数

.必定为上的非奇非偶函数

*.设有单位向量，它同时与及都垂直，则为（）

. .

. .

解读：

，应选。

.幂级数的收敛区间是（）

. . . .

*.按照微分方程通解的定义，的通解是（）

. .

. .

（其中是任意常数）

解读：，故选。

二.填空题：本大题共个小题，个空，每空分，共分，把答案填在题中横线上。

.设为连续函数，则。

*.函数的单调递减区间是。

解读：

当时，，故单调递减，故单调区间是（，）

.设是的一个原函数，则。

*.设，则。

解读：

*.设，其中为常数，则。

解读：

.设，则。

*.微分方程的通解为。

解读：方程改写为，两边积分得：

即

.点到平面的距离。

*.幂级数的收敛区间是（不含端点）。

解读：，收敛半径

由得：，故收敛区间是（，）

.方程的通解是。

三.解答题：本大题共个小题，共分。

.求极限。

*.设，求。

解：

所以

*.求函数在区间上的最大值与最小值。

解：函数在处不可导，

令得驻点，求得

于是在上的最大值为，最小值为

.求不定积分。

.设由方程确定，求。

.若区域：，计算二重积分。

*.求过三点（，，），（，，），（，，）的平面方程。

平面方程为：

，即

*.判定级数的收敛性。

解：因为是公比的等比级数从而收敛，再考察级数

其中满足①，②

由莱布尼兹判别法知收敛，级数收敛。（两收敛级数之和收敛）

.求方程的一个特解。

*.证明：

解：

又

由、得：

.设为连续函数，且，求。

*.设抛物线过原点（，）且当时，，试确定、、的值。使得抛物线与直线，所围成图形的面积为，且使该图形绕轴旋转而成的旋转体的体积最小。

解：因抛物线过原点（，），有

依题意，如图所示阴影部分的面积为

该图形绕轴旋转而成的旋转体的体积为

令，得驻点：

由问题的几何意义可知，当，从而时，旋转体的体积最小，于是所求曲线为

*.求幂级数的和函数，并由此求级数的和。

解：令，则且有

又