运筹学 运输问题例题数学建模.pdfVIP

一个重要分支，它主要研究如何把某种商品从若干个产地运至若干个销地，使总的运费或总的运输时间最小。

本文将介绍运输问题的数学建模方法，以及用表上作业法求解运输问题的步骤和技巧。同时，本文还将给出几个

典型的运输问题的例题，帮助读者理解和掌握运输问题的求解过程。

运输问题的数学建模

运输问题可以用以下的数学模型来描述：

设有个产地（或供应地），分别记为，每个产地的产量（或供应量）为；有个销地（或需求

地），分别记为，每个销地的需求量为；从产地到销地的单位运费（或单位运输时间）为

；用x表示从产地到销地的运量，则运输问题可以归结为以下的线性规划问题：

i

x

其中，目标函数表示总的运费或总的运输时间，约束条件表示每个产地的供应量必须等于其产量，每个销地的需

求量必须等于其销量，以及每条运输路线的运量不能为负数。

在实际问题中，可能出现以下几种情况：

产销平衡：即，也就是说总的供应量等于总的需求量。这种情况下，上述数学模型可以直

ij

接应用。

产大于销：即∑ma∑nb，也就是说总的供应量大于总的需求量。这种情况下，可以增加一个虚拟的

i=1ij=1j

销地，其需求量等于供需差额，且其与各个产地的单位运费为零。这样就可以把问题转化为一个产销平衡的

问题。

产小于销：即∑ma∑nb，也就是说总的供应量小于总的需求量。这种情况下，可以增加一个虚拟的

i=1ij=1j

产地，其产量等于供需差额，且其与各个销地的单位运费为零。这样也可以把问题转化为一个产销平衡的问

题。

弹性需求：即某些销地对商品的需求量不是固定不变的，而是随着商品价格或其他因素而变化。这种情况

下，可以把每个销地的需求量分为刚性需求和弹性需求，刚性需求必须满足，弹性需求可以根据实际情况调

整。同时，可以增加一个虚拟的产地，其产量等于总的供应量减去总的刚性需求量，且其与各个销地的单位

运费为零。这样也可以把问题转化为一个产销平衡的问题。

中间转运：即某些商品不是直接从产地运到销地，而是经过一些中间转运站进行中转。这种情况下，可以把

每个中间转运站既看作一个产地，又看作一个销地，其产量和需求量相等。同时，可以把不可能发生的运输

路线的单位运费设为一个很大的正数。这样也可以把问题转化为一个产销平衡的问题。

用表上作业法求解运输问题

表上作业法是一种简便而有效的求解运输问题的方法，其基本思想是利用单纯形法的原理，在运输表上进行迭代

计算，直到找到最优解。表上作业法主要包括以下三个步骤：

个基变量

（即非零变量）和相应的非基变量（即零变量）。常用的方法有西北角法、最小元素法和伏格尔法。

检验最优性：即检查当前可行解是否是最优解，也就是判断是否存在更好的可行解。常用的方法有闭回路法

和对偶变量法。

调整改进：如果当前可行解不是最优解，则需要进行调整优化，也就是通过改变基变量和非基变量的值来减

少目标函数值。具体方法是在运输表中画出闭回路，并按照一定规则对沿闭回路的变量进行增减操作。

下面我们用一个例题来说明表上作业法的具体过程。

某公司有三个工厂、B、C，分别生产甲、乙两种产品。每个工厂每天生产甲、乙两种产品的数量如下表所示：

工厂甲乙

A3020

B4010

C2030

该公司有四个销售点D、E、F、G，每天对甲、乙两种产品的需求量如下表所示：

销售点甲乙

D2010

E1020

F3010

G3020

从每个工厂到每个销售点的单位运费如下表所示：

EFG

A

B3423

C4532

试确定该公司每天应该如何安排产品的运输，使总的运费最少。

解答

第一步：确定初始可行解