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运筹学部分课后习题解答
P471.1用图解法求解线性规划问题
a）
解：由图1可知，该问题的可行域为凸集MABCN，且可知线段BA上的点都为最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为
P471.3用图解法和单纯形法求解线性规划问题
a）
解：由图1可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知B点为最优值点，即，即最优解为
这时的最优值为
单纯形法：
原问题化成标准型为
10
5
0
0
b
0
9
3
4
1
0
0
8
[5]
2
0
1
10
5
0
0
0
21/5
0
[14/5]
1
-3/5
10
8/5
1
2/5
0
1/5
0
1
0
-2
5
3/2
0
1
5/14
-3/14
10
1
1
0
-1/7
2/7
0
0
-5/14
-25/14
所以有
P782.4已知线性规划问题：
求:(1)写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
解：（1）该线性规划问题的对偶问题为：
（2）由原问题最优解为，根据互补松弛性得：
把代入原线性规划问题的约束中得第四个约束取严格不等号，即
从而有
得
所以对偶问题的最优解为，最优值为
b
0
45
6
3
5
1
0
0
30
3
4
[5]
0
1
3
1
4
0
0
0
15
[3]
-1
0
1
-1
4
6
3/5
4/5
1
0
1/5
3/5
-11/5
0
0
-4/5
3
5
1
-1/3
0
1/3
-1/3
4
3
0
1
1
-1/5
2/5
0
-2
0
-1/5
-3/5
得到最优解为；最优值为
b）设产品A的利润为，则上述模型中目标函数的系数用替代并求解得：
1
4
0
0
b
3
5
1
-1/3
0
1/3
-1/3
4
3
0
1
1
-1/5
2/5
-2
0
-1/5
-3/5
0
-2+/3
0
-1/5-/3
-3/5+/3
要最优计划不变，要求有如下的不等式方程组成立
解得：
从而产品A的利润变化范围为：,即
C）设产品D用表示，从已知可得
把加入上述模型中求解得：
3
1
4
0
0
3
b
3
5
1
-1/3
0
1/3
-1/3
[2]
4
3
0
1
1
-1/5
2/5
-4/5
0
-2
0
-1/5
-3/5
1/5
3
5/2
1/2
-1/6
0
1/6
-1/6
1
4
5
2/5
13/15
1
-1/15
4/15
0
-1/10
-59/30
0
-7/30
-17/30
0
从而得最优解；最优值为
所以产品D值得生产。
d）
P1013.1已知运输问题的产销量与单位运价如下表所示，用表上作业法求各题的最优解及最小运费。
表3-35
产地
产地
销地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
A2
A3
10
12
2
2
7
14
20
9
16
11
20
18
15
25
5
销量
5
15
15
10
解：由已知和最小元素法可得初始方案为
产地
产地
销地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
A2
A3
5
15
0
15
0
10
15
25
5
销量
5
15
15
10
检验：
由于有两个检验数小于零，所以需调整，调整一：
产地
产地
销地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
A2
A3
5
15
0
15
10
0
15
25
5
销量
5
15
15
10
检验：
由于还有检验数小于零，所以需调整，调整二：
产地
产地
销地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
A2
A3
5
5
10
15
10
0
15
25
5
销量
5
15
15
10
检验：
从上表可以看出所有的检验数都大于零，即为最优方案
最小运费为：
表3-36
产地
产地
销地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
A2
A3
8
6
5
4
9
3
1
4
4
2
7
3
7
25
26
销量
10
10
20
15
解：因为，即产大于销，所以需添加一个假想的销地，销量为3，构成产销平衡问题，其对应各销地的单位运费都为0。
产地
产地
销地
B1
B2
B3
B4
B5
产量
A1
A2
A3
8
6
5
4
9
3
1
4
4
2
7
3
0
0
0
7
25
26
销量
10
10
20
15
3
由上表和最小元素法可得初始方案为
产地
产地
销地
B1
B2
B3
B4
B5
产量
A1
A2
A3
9
1
10
7
13
15
3
7
25
26
销量
10
10
20
15
3
检验：
从上表可以看出所有的检验数都大于零，即为最优方案
最小运费为：
表3-37
产地
产地
销地
B1
B2
B3
B4
B5
产量
A1
A2
A3
8
5
6
6
M
3
3
8
9
7
4
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