2025版高考数学一轮总复习素养提升第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第9讲函数模型及其应用.docVIP

函数y＝x＋eq\f(a,x)(a0)模型及应用

杭州市2023年举办第19届亚运会，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元．每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收入G(x)(单位：万元)与年产量x(单位：万台)满足如下关系式：

G(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(180－2x，0x≤20，,70＋\f(2000,x)－\f(9000,x?x＋1?)，x20.))

(1)写出年利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万台)的函数解析式(利润＝销售收入－成本)；

(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大年利润．

[解析](1)由题意知，W(x)＝xG(x)－80x－50，

所以W(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x2＋100x－50，0x≤20，,－10x－\f(9000,x＋1)＋1950，x20.))

(2)由(1)知．

W(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2?x－25?2＋1200，0x≤20，,1960－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10?x＋1?＋\f(9000,x＋1)))，x20，))

所以当0x≤20时，W(x)单调递增，则W(x)max＝W(20)＝1150；

当x20时，

W(x)≤1960－2eq\r(10?x＋1?·\f(9000,x＋1))＝1360，

当且仅当x＝29时等号成立．

由于13601150，所以当年产量为29万台时，该公司获得的年利润最大，为1360万元．

名师点拨：

1．解决此类问题时一定要关注函数的定义域．

2．利用模型f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a0)求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．

【变式训练】

(2022·全国高三专题练习)十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x(百辆)需另投入成本y(万元)，且y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10x2＋100x，0x40，,501x＋\f(10000,x)－4500，x≥40.))由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．

(1)求出2020年的利润S(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；(利润＝销售额－成本)

(2)当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．

[解析](1)由题意得当0x40时，S(x)＝500x－(10x2＋100x)－3000＝－10x2＋400x－3000，

当x≥40时，S(x)＝500x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(501x＋\f(10000,x)－4500))－3000＝1500－x－eq\f(10000,x)，

所以S(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－10x2＋400x－3000，0x40，,1500－x－\f(10000,x)，x≥40.))

(2)由(1)得当0x40时，S(x)＝－10x2＋400x－3000，

当x＝20时，Smax(x)＝1000，

当x≥40时，S(x)＝1500－x－eq\f(10000,x)＝1500－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(10000,x)))，

∵x＋eq\f(10000,x)≥2eq\r(x·\f(10000,x))＝200，当且仅当x＝eq\f(10000,x)，即x＝100时等号成立，

∴S(x)≤1500－200＝1300，∴x＝100时，Smax(x)＝1300，∵13001000，

∴x＝100时，即2020年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为1300万元．