考研数学一(向量代数和空间解析几何)模拟试卷2(题后含答案及解析).docVIP

考研数学一（向量代数和空间解析几何）模拟试卷2(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．已知a，b均为非零向量，(a+3b)⊥(7a一5b)，(a一4b)⊥(7a一2b)，则向量a与b的夹角为()

A．

B．

C．

D．

正确答案：B

解析：由题设知知识模块：向量代数和空间解析几何

2．设a，b，c为非零向量，且a=b×c，b=c×a，c=a×b，则｜a｜+｜b｜+｜c｜=()

A．0．

B．1．

C．2．

D．3．

正确答案：D

解析：由题设知a，b，c两两相互垂直，则｜a｜=｜b×c｜=｜b｜｜c｜，｜b｜=｜a｜｜c｜，｜c｜=｜a｜｜b｜，由此可得｜a｜=｜b｜=｜c｜=1，故｜a｜+｜b｜+｜c｜=3．知识模块：向量代数和空间解析几何

3．已知曲面z=4一x2一y2上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z一1=0，则点P的坐标是()

A．(1，一1，2)．

B．(一1，1，2)．

C．(1，1，2)．

D．(一1，一1，2)．

正确答案：C

解析：由面z=4一x2一y在点(x0，y0，z0)处的法线向量为(2x0，2y0，1)．由题设知，则x=y=1，代入z=4一x2一y2得z=2，故选C。知识模块：向量代数和空间解析几何

4．已知向量a，b的模分别为｜a｜=2，｜b｜=，且a.b=2，则｜a×b｜=()

A．2．

B．．

C．．

D．1．

正确答案：A

解析：知识模块：向量代数和空间解析几何

5．已知直线L1：x+1=y一1=z与直线L2：相交于一点，则λ等于()

A．0．

B．1．

C．一．

D．．

正确答案：D

解析：直线：L1：x+1=y一1=z的方向向量为s1=(1，1，1)，直线L2：的方向向量为s2=(1，2，λ)．显然s1与s2不平行，则L1与L2相交于一点的充要条件是L1与L2共面，即知识模块：向量代数和空间解析几何

6．直线1：之间的关系是()

A．L1∥L2．

B．L1与L2相交但不垂直．

C．L1⊥L2且相交．

D．L1，L2是异面直线．

正确答案：A

解析：由题干知，知识模块：向量代数和空间解析几何

7．函数f(x，y，z)=x2y3+3y2z3在点(0，1，1)处方向导数的最大值为()

A．．

B．．

C．117．

D．107．

正确答案：B

解析：函数f(x，y，z)=x2y3+3y2z3在点(0，1，1)处方向导数的最大值等于f(x，y，z)在点(0，1，1)处梯度向量的模．gradf(0，1，1)=(0，6，9)，‖g‖=，故选

B．知识模块：向量代数和空间解析几何

8．设可微函数f(x，y，z)在点(x0，y0，z0)处的梯度向量为g，l=(0，2，2)为一常向量，且g.l=1，则函数f(x，y，z)在点(x0，y0，z0)处沿l方向的方向导数等于()

A．

B．

C．

D．

正确答案：B

解析：设l的方向余弦为cosα，cosβ，cosγ，则故选

B．知识模块：向量代数和空间解析几何

9．在曲线x=t，y=一t2，z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线()

A．只有一条．

B．只有两条．

C．至少有三条．

D．不存在．

正确答案：B

解析：曲线x=t，y=一t2，z=t3在点t=t0处的切向量为t=(1，一2t0，3t02)．平面x+2y+z=4的法线向量为n=(1，2，1)．由题设知n上t，即1—4t0+3t02=0，则t0=1或t0=，故选

B．知识模块：向量代数和空间解析几何

10．设L是圆周x2+y2=1，n为L的外法线向量，u(x，y)=等于()

A．0．

B．．

C．π．

D．一π．

正确答案：B

解析：(n，y)，这里的cos(n，x)，cos(n，y)为曲线L的外法线向量的方向余弦，设t为L的逆时针方向的切线向量，则cos(n，x)=cos(t，y)，COS(n，y)=—cos(f，x)，则知识模块：向量代数和空间解析几何

填空题

11．过(1，1，一1)，(一2，一2，2)和(1，一1，2)三点的平面方程为_________．

正确答案：x一3y一2z=0

解析：设已知的三个点分别是A(1，1，一1)，B(一2，一2，2)和C(1，一1，2)，因此可知向量=(0，一2，3)．平面的法向量n与以上两个向量垂直，因此n==3i一9j一6k=(3，一9，一6)，由点法式可得3(x一1)一9(y一1)一6(z+1)=0，化简得x一3y一