考点06指数函数（7种题型2个易错考点）（解析版）.docx

考点06指数函数（7种题型2个易错考点）

一

一、真题多维细目表

考题

考点

考向

2022·全国·统考高考真题

指数函数的单调性

利用指数函数的单调性比较大小

2022·全国·统考高考真题

导数判断其单调性

利用指数函数的单调性比较大小

二

二、命题规律与备考策略

方法一：（指对数函数性质）

方法二：【最优解】（构造函数）

方法三：构造法

方法四：比较法

三

三、2022真题抢先刷，考向提前知

1．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．

【详解】［方法一］：（指对数函数性质）

由可得，而，所以，即，所以.

又，所以，即，

所以.综上，.

［方法二］：【最优解】（构造函数）

由，可得．

根据的形式构造函数，则，

令，解得，由知.

在上单调递增，所以，即，

又因为，所以.

故选：A.

【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；

法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．

2．（2022·全国·统考高考真题）设，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，导数判断其单调性，由此确定的大小.

【详解】方法一：构造法

设，因为，

当时，，当时，

所以函数在单调递减，在上单调递增，

所以，所以，故，即，

所以，所以，故，所以，

故，

设，则,

令，，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

又，

所以当时，，

所以当时，，函数单调递增，

所以，即，所以

故选：C.

方法二：比较法

解：，，，

①，

令

则，

故在上单调递减，

可得，即，所以；

②，

令

则，

令，所以，

所以在上单调递增，可得，即，

所以在上单调递增，可得，即，所以

故

四

四、考点清单

一．有理数指数幂及根式

【根式与分数指数幂】

规定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）

＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

常考题型：

例1：下列计算正确的是（）

A、（﹣1）0＝﹣1B、＝aC、＝3D、＝a（a＞0）

分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案．

解：∵（﹣1）0＝1，

∴A不正确；

∵，

∴B不正确；

∵，

∴C正确；

∵

∴D不正确．

故选：C．

点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．

【有理数指数幂】

（1）幂的有关概念：

①正分数指数幂：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；

②负分数指数幂：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；

③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．

（2）有理数指数幂的性质：

①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；

②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；

③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．

常考题型：

例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（）

A、B、am?an＝am?nC、（am）n＝am+nD、1÷an＝a0﹣n

分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．

解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；

B中，am?an＝am+n≠am?n，故不成立；

C中，（am）n＝am?n≠am+n，故不成立；

D中，1÷an＝a0﹣n，成立．

故选：D．

点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．

二．指数函数的定义、解析式、定义域和值域

1、指数函数的定义：

一般地，函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．

2、指数函数的解析式：

y＝ax（a＞0，且a≠1）

3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：

①因为a＞0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．

②规定底数a大于零且不等于1的理由：

如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义；

如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在．

如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，

为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．