【史上最强】华东师范大学《数学分析》第四第五版上下册精讲精练10288.pdf

讲精练

华东师范大学《数学分析》第四第五版上下册是数学系研究生

必修课程之一，也是大学本科高等数学课程的进阶版，内容极

为丰富，涉及微积分、级数、常微分方程等多个方面，是一门

集分析和代数为一体的课程。

下面，我将对该课程进行精讲精练，以帮助学生更好地掌握和

理解课程内容。

一、微积分

微积分是数学分析的重要组成部分，是研究微小变化的一种数

学方法。在微积分中，常见的概念包括导数、积分、极限等。

1.导数

导数是函数在某一点的变化率，表示为$f(x)$。导数的计算可

以通过极限的方法得到，有如下公式：

2.积分

积分是函数与坐标轴所围成的面积，表示为。

积分的计算可以通过求解定积分的方法得到，有如下公式：

，。

3.微积分的应用

微积分在自然科学、社会科学和工程技术等领域都有广泛的应

用。例如，在物理学中，可以通过微积分计算对象的运动、速

度、加速度等，从而研究物体的物理性质；在经济学中，可以

通过微积分分析经济学模型中的生产函数、消费函数等，从而

研究经济模型的特性。

二、级数

级数也是数学分析中的重要组成部分，是相加无限项的数列。

在级数中，常见的概念包括收敛、发散、绝对收敛、条件收敛

等。

1.收敛和发散

级数是收敛的，当且仅当它的部分和有界，表示为

，其中$a_n$是级数的第$n$项。级数

是发散的，当且仅当它的部分和无界。

2.绝对收敛和条件收敛

级数是绝对收敛的，当且仅当它的绝对值数列是收敛的，表示

为。级数是条件收敛的，当它收敛，

但不绝对收敛。

3.

求级数和的方法有多种，包括朴素求和法、部分和方法和比较

定理等。其中，朴素求和法是从第一项开始，利用级数的通项

公式求和；部分和方法是将级数分解成若干部分，然后对每一

部分求和，最后相加；比较定理是将待求和的级数与已知级数

比较，从而求出待求和级数的性质。

三、常微分方程

常微分方程是数学分析中的重要分支，是研究有关函数和导数

之间关系的一类方程。在常微分方程中，常见的概念包括初值

问题、齐次方程、非齐次方程等。

1.初值问题

初值问题是常微分方程的一个重要概念，它包括一个方程和一

个初值条件，通常表示为：

$$y(t)=f(t,y(t)),y(t_0)=y_0$$

其中，$y_0$是初值，$t_0$是初值对应的自变量值。

2.齐次方程

齐次方程是指方程右边为0的常微分方程，通常表示为

$y(t)=f(t,y(t))$。齐次方程的解可以通过变量分离、分离变量

常数变易法”等方法求解。

3.非齐次方程

非齐次方程是指方程右边不为0的常微分方程，通常表示为

$y(t)=f(t,y(t))+g(t)$。非齐次方程的解可以通过“待定系数法”、

“变量分离法”等方法求解。

总结：

以上是《数学分析》第四第五版上下册的精讲精练，该课程作

为一门重要的数学课程，涉及内容繁多，需要学生花费大量时

间和精力进行学习和巩固。学习该课程要注重理论和实践的结

合，在掌握基础知识的同时，也要通过大量的练习加深理解和

培养解决问题的能力，从而使自己能够更好地应对复杂问题和

挑战。