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2023~2024学年度第二学期高三年级模拟考试
数学
本试卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名?准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数，（其中为虚数单位，）.若是纯虚数，则（）
A. B. C.1 D.4
2.直线倾斜角为（）
A. B. C. D.
3.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有
A.60种 B.70种 C.75种 D.150种
4.已知等差数列的前项和为，且，，则是中的（）
A.第28项 B.第29项 C.第30项 D.第32项
5.在中，已知，，则“”是“”成立的（）条件
A充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要
6.已知双曲线，直线.双曲线上的点到直线的距离最小，则点的横坐标为（）
A. B. C. D.
7.若命题：“，，使得”为假命题，则，的大小关系为（）
A. B. C. D.
8.设实数，，满足，则的最小值为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.下列可以反映总体数据集中趋势的统计特征数为（）
A.方差 B.平均数 C.中位数 D.众数
10.已知不等式对任意恒成立，其中，是整数，则的取值可以为（）
A. B. C.0 D.8
11.直线与抛物线相交于，两点，过，两点分别作该抛物线的切线，与直线均交于点，则下列选项正确的是（）
A.直线过定点
B.，两点的纵坐标之和的最小值为
C.存在某一条直线，使得为直角
D.设点在直线上的射影为，则直线斜率的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知集合，，则_____________.
13.已知函数，若，则__________．
14.在长方体中，，，，分别是棱，的中点，则平面截该长方体所得的截面为_________________边形，截面面积为_____________________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.如图，在四棱锥中，已知棱两两垂直，长度分别为1，2，2.若，且向量与夹角的余弦值为.
（1）求的值；
（2）求直线与平面所成角正弦值.
16.已知向量，，.设.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在中，若，，，平分线交于点，求长.
17.在平面直角坐标系中，设椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，且的周长是.
（1）求椭圆的方程；
（2）当时，求的面积.
18.设函数，.
（1）若，求函数单调区间；
（2）若，试判断函数在区间内的极值点的个数，并说明理由；
（3）求证：对任意的正数，都存在实数，满足：对任意的，.
19.“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动.某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动.
（1）某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为两类，抽到较易的类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的类并答对购物打七折优惠，抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有字母，3张写有字母，2张写有字母，顾客每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽1次，直至取到写有或卡片为止，求该顾客取到写有卡片的概率.
（2）小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到条灯谜（不妨设每条灯谜的适合度各不相同），最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前条灯谜，自第条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条，设，记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为.
①若，，求；
②当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.（取）
参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
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